Класическа Формула за Пи е скрита в водородните атоми

    FIONA MACDONALD 15 март 2019 г.

https://www.sciencealert.com/a-classic-formula-for-pi-is-hidden-in-hydrogen-atoms

Още през 2015 г. учените откриха нещо удивително - класическа формула за пи, скрита в света на квантовата физика.

Pi е съотношението между окръжността и нейния диаметър и е изключително важно в чистата математика. Но това е първият път, когато учените са открили, че „се крие” в света на физиката, когато използва квантовата механика за сравняване на енергийните нива на водороден атом.

Защо беше толкова вълнуващо? Е, това разкрива невероятно специална и досега неизвестна връзка между квантовата физика и математиката.

"Намирам за очарователно, че чисто математическата формула от 17-ти век характеризира една физическа система, която е била открита 300 години по-късно", казва един от водещите изследователи по онова време Тамар Фридман , математик в Университета на Рочестър в САЩ. 

Откритието е направено, когато Карл Хаген, физик на частиците в Университета на Рочестър, преподава класа по квантова механика и обяснява на учениците си как да използват квантово-механична техника, известна като „вариантния принцип“, за да се сближат енергийните състояния на водороден атом.

Докато сравнява тези стойности с конвенционалните изчисления, той забелязва необичайна тенденция в съотношенията.

Той помоли Фридман да му помогне да изработи тази тенденция и бързо осъзнаха, че това всъщност е проявление на формулата на Уолис за пи - първия път, когато тя е била извлечена от физиката.

"Ние не търсихме формулата на Уолис за пи. То просто падна в нашите обиколки", казва Хаген . 

"Това беше пълна изненада", добави Фридман . - Скочих нагоре и надолу, когато получихме формулата на Уолис от уравненията за водородния атом.

От 1655 г. има много доказателства за формулата на Уолис, но преди това всички са дошли от света на математиката. 

По-долу можете да видите две страници от книгата на Wallis:  Arithmetica Infinitorum :

Дигитализиран от Google

"Това почти изглежда като магия", пише сътрудникът по математика Кевин Кюдсън за Forbes .

"Това, че формулата за π е скрита в квантовата механика на водородния атом е изненадваща и възхитителна."

"Природата е пазила тази тайна през последните 80 години", каза Фридман . - Радвам се, че го разкрихме.

Ние просто не можем да помогнем, но се чудим какви други тайни връзки са все още там, дебнат между квантовата механика и чистата математика.

Резултатите са  публикувани в  Journal of Mathematical Physics .

Версия на тази статия е публикувана за първи път през ноември 2015 г.

9 числа, които са по-хладни от Pi От Live Научен персонал | 14 март, 2019 г. 07:20 ч. Ет  

• 1 от 10 https://www.livescience.com/64987-numbers-as-cool-as-pi.html
• Кредит: Olha Insight / Shutterstock Ние обичаме числата

  Това е 14 март, а това означава само едно нещо ... това е Pi Day и времето да празнуваме най-известния ирационален номер в света, pi. Съотношението на обиколката на кръга към нейния диаметър, pi не е просто ирационално, което означава, че не може да бъде записано като проста фракция; тя също е трансцендентална, което означава, че не е коренът, или решение, за всяко полиномно уравнение, като x + 2X ^ 2 + 3 = 0.

  Но не толкова бързо… pi може да е един от най-добре познатите числа, но за хората, на които се плаща да мислят за числата през целия ден, константата на кръга може да е малко скучна. Всъщност, безбройните числа са потенциално дори по-хладни от пи. Попитахме няколко математици какви са техните любими пост-пи номера; Ето някои от техните отговори.

Кредит: Olha Insight / Shutterstock Ние обичаме числата

Това е 14 март, а това означава само едно нещо ... това е Pi Day и времето да празнуваме най-известния ирационален номер в света, pi. Съотношението на обиколката на кръга към нейния диаметър, pi не е просто ирационално, което означава, че не може да бъде записано като проста фракция; тя също е трансцендентална, което означава, че не е коренът, или решение, за всяко полиномно уравнение, като x + 2X ^ 2 + 3 = 0.

Но не толкова бързо… pi може да е един от най-добре познатите числа, но за хората, на които се плаща да мислят за числата през целия ден, константата на кръга може да е малко скучна. Всъщност, безбройните числа са потенциално дори по-хладни от пи. Попитахме няколко математици какви са техните любими пост-пи номера; Ето някои от техните отговори.

• 2 от 10 Кредит: Shutterstock тау

  Знаеш ли какво е по-хладно от един пай? … Две пайове. С други думи, два пъти pi, или числото "tau", което е приблизително 6.28.

  "Използването на tau прави всяка формула по-ясна и по-логична от използването на пи", казва Джон Баес, математик от Университета на Калифорния, Riverside. "Нашият фокус върху pi, а не 2pi е исторически инцидент."

  Тау е това, което се показва в най-важните формули, каза той.

  Докато pi свързва обиколката на кръга с диаметъра си, tau свързва окръжността с радиуса му - и много математици твърдят, че тази връзка е много по-важна . Тау също прави привидно несвързани уравнения добре симетрични, като тази за област на окръжност и уравнение, описващо кинетична и еластична енергия.

  Но Тау няма да бъде забравен на Пи ден! Според традицията, Масачузетският технологичен институт ще изпраща решенията си в 18:28 днес. След няколко месеца, на 28 юни, Тау ще има свой ден.

9 числа, които са по-хладни от Pi От Live Научен персонал | 14 март, 2019 г. 07:20 ч. Ет  

• 1 от 10 Кредит: Olha Insight / Shutterstock Ние обичаме числата

  Това е 14 март, а това означава само едно нещо ... това е Pi Day и времето да празнуваме най-известния ирационален номер в света, pi. Съотношението на обиколката на кръга към нейния диаметър, pi не е просто ирационално, което означава, че не може да бъде записано като проста фракция; тя също е трансцендентална, което означава, че не е коренът, или решение, за всяко полиномно уравнение, като x + 2X ^ 2 + 3 = 0.

  But no so fast … pi may be one of the most well-known numbers, but for people who are paid to think about numbers all day long, the circle constant can be a bit of a bore. In fact, countless numbers are potentially even cooler than pi. We asked several mathematicians what their favorite post-pi numbers are; here are some of their answers.

• 2 of 10 Credit: Shutterstock Tau

  You know what"s cooler than ONE pie? … TWO pies. In other words, two times pi, or the number "tau," which is roughly 6.28.

  "Using tau makes every formula clearer and more logical than using pi," said John Baez, a mathematician at the University of California, Riverside. "Our focus on pi rather than 2pi is a historical accident."

  Tau is what shows up in the most important formulas, he said.

  Докато pi свързва обиколката на кръга с диаметъра си, tau свързва окръжността с радиуса му - и много математици твърдят, че тази връзка е много по-важна . Тау също прави привидно несвързани уравнения добре симетрични, като тази за област на окръжност и уравнение, описващо кинетична и еластична енергия.

  Но Тау няма да бъде забравен на Пи ден! Според традицията, Масачузетският технологичен институт ще изпраща решенията си в 18:28 днес. След няколко месеца, на 28 юни, Тау ще има свой ден.

• 3 от 10 Кредит: Shutterstock Естествена база

  Основата на естествените логаритми - написани като "е" за неговия съименник, швейцарският математик от 18-ти век Леонхард Ойлер - може да не е толкова известен като Пи, но има и свой собствен празник. Да, докато 3.14 се празнува на 14 март, естествената дневна база, ирационалният брой започващ с 2.718, е lionized на 7 февруари.

  Основата на естествените логаритми най-често се използва в уравнения,включващи логаритми, експоненциален растеж и комплексни числа.

  "[Той] има прекрасна дефиниция като единствения брой, за който експоненциалната функция y = e ^ x има наклон, равен на стойността му във всяка точка", Кийт Девлин, директор на Проекта за обучение по математика в Станфордския университет. Училище за образование, каза Live Science. С други думи, ако стойността на дадена функция е, да кажем 7.5 в дадена точка, тогава неговият наклон, или дериват, в този момент също е 7.5. И, "като пи, той идва през 

9 числа, които са по-хладни от Pi От Live Научен персонал | 14 март, 2019 г. 07:20 ч. Ет  

•  

• 1 от 10 Кредит: Olha Insight / Shutterstock Ние обичаме числата

  Това е 14 март, а това означава само едно нещо ... това е Pi Day и времето да празнуваме най-известния ирационален номер в света, pi. Съотношението на обиколката на кръга към нейния диаметър, pi не е просто ирационално, което означава, че не може да бъде записано като проста фракция; тя също е трансцендентална, което означава, че не е коренът, или решение, за всяко полиномно уравнение, като x + 2X ^ 2 + 3 = 0.

  But no so fast … pi may be one of the most well-known numbers, but for people who are paid to think about numbers all day long, the circle constant can be a bit of a bore. In fact, countless numbers are potentially even cooler than pi. We asked several mathematicians what their favorite post-pi numbers are; here are some of their answers.

• 2 of 10 Credit: Shutterstock Tau

  You know what"s cooler than ONE pie? … TWO pies. In other words, two times pi, or the number "tau," which is roughly 6.28.

  "Using tau makes every formula clearer and more logical than using pi," said John Baez, a mathematician at the University of California, Riverside. "Our focus on pi rather than 2pi is a historical accident."

  Tau is what shows up in the most important formulas, he said.

  While pi relates a circle"s circumference to its diameter, tau relates a circle"s circumference to its radius — and many mathematicians argue that this relationship is much more important. Tau also makes seemingly unrelated equations nicely symmetrical, such as the one for a circle"s area and an equation describing kinetic and elastic energy.

  But tau will not be forgotten on pi day! As per tradition, the Massachusetts Institute of Technology will send out decisions at 6:28 p.m. today. A few months from now, on June 28, tau will have its own day.

• 3 of 10 Credit: Shutterstock Natural log base

  The base of natural logarithms — written as "e" for its namesake, the 18th-century Swiss mathematician Leonhard Euler — may not be as famous as pi, but it also has its own holiday. Yup, while 3.14 is celebrated on March 14, natural log base, the irrational number beginning with 2.718, is lionized on Feb. 7.

  The base of natural logarithms is most often used in equations involving logarithms, exponential growth and complex numbers.

  "[Той] има прекрасна дефиниция като единствения брой, за който експоненциалната функция y = e ^ x има наклон, равен на стойността му във всяка точка", Кийт Девлин, директор на Проекта за обучение по математика в Станфордския университет. Училище за образование, каза Live Science. С други думи, ако стойността на дадена функция е, да кажем 7.5 в дадена точка, тогава неговият наклон, или дериват, в този момент също е 7.5. И, "като пи, той идва през цялото време в математиката, физиката и инженерството."

• 4 от 10 Кредит: Shutterstock Въображаемо число i

  Вземете "p" от "pi" и какво ще получите? Точно така е числото i. Не, това не е наистина как работи, но аз съм доста готин номер. Това е квадратният корен на -1, което означава, че е прекъсвач на правилата, тъй като не трябва да вземате квадратен корен от отрицателно число.

  "И все пак, ако нарушим това правило, ще измислим въображаемите числа и така сложните числа, които са едновременно красиви и полезни," каза Евгения Ченг, математик от Училището на Института по изкуства в Чикаго, имейл. (Комплексните числа могат да бъдат изразени като сума от двете реални и въображаеми части.)

  i е изключително странно число, защото -1 има два квадратни корена: i и -i, каза Ченг. - Но не можем да кажем коя е коя! Математиците трябва просто да изберат един квадратен корен и да го нарекат i и другия -i.

9 числа, които са по-хладни от Pi От Live Научен персонал | 14 март, 2019 г. 07:20 ч. Ет  

• 1 от 10 Кредит: Olha Insight / Shutterstock Ние обичаме числата

  Това е 14 март, а това означава само едно нещо ... това е Pi Day и времето да празнуваме най-известния ирационален номер в света, pi. Съотношението на обиколката на кръга към нейния диаметър, pi не е просто ирационално, което означава, че не може да бъде записано като проста фракция; тя също е трансцендентална, което означава, че не е коренът, или решение, за всяко полиномно уравнение, като x + 2X ^ 2 + 3 = 0.

  But no so fast … pi may be one of the most well-known numbers, but for people who are paid to think about numbers all day long, the circle constant can be a bit of a bore. In fact, countless numbers are potentially even cooler than pi. We asked several mathematicians what their favorite post-pi numbers are; here are some of their answers.

• 2 of 10 Credit: Shutterstock Tau

  You know what"s cooler than ONE pie? … TWO pies. In other words, two times pi, or the number "tau," which is roughly 6.28.

  "Using tau makes every formula clearer and more logical than using pi," said John Baez, a mathematician at the University of California, Riverside. "Our focus on pi rather than 2pi is a historical accident."

  Tau is what shows up in the most important formulas, he said.

  While pi relates a circle"s circumference to its diameter, tau relates a circle"s circumference to its radius — and many mathematicians argue that this relationship is much more important. Tau also makes seemingly unrelated equations nicely symmetrical, such as the one for a circle"s area and an equation describing kinetic and elastic energy.

  But tau will not be forgotten on pi day! As per tradition, the Massachusetts Institute of Technology will send out decisions at 6:28 p.m. today. A few months from now, on June 28, tau will have its own day.

• 3 of 10 Credit: Shutterstock Natural log base

  The base of natural logarithms — written as "e" for its namesake, the 18th-century Swiss mathematician Leonhard Euler — may not be as famous as pi, but it also has its own holiday. Yup, while 3.14 is celebrated on March 14, natural log base, the irrational number beginning with 2.718, is lionized on Feb. 7.

  The base of natural logarithms is most often used in equations involving logarithms, exponential growth and complex numbers.

  "[It] has the wonderful definition as being the one number for which the exponential function y = e^x has a slope equal to its value at every point," Keith Devlin, the director of the Stanford University Mathematics Outreach Project in the Graduate School of Education, told Live Science. In other words, if the value of a function is, say 7.5 at a certain point, then its slope, or derivative, at that point is also 7.5. And, "like pi, it comes up all the time in mathematics, physics and engineering."

• 4 of 10 Credit: Shutterstock Imaginary number i

  Take the "p" out of "pi," and what do you get? That"s right, the number i. No, that"s not really how it works, but i is a pretty cool number. It"s the square root of -1, which means it"s a rule breaker, as you"re not supposed to take the square root of a negative number.

  "Yet, if we break that rule, we get to invent the imaginary numbers, and so the complex numbers, which are both beautiful and useful," Eugenia Cheng, a mathematician at the School of the Art Institute of Chicago, told Live Science in an email. (Complex numbers can be expressed as the sum of both real and imaginary parts.)

  i е изключително странно число, защото -1 има два квадратни корена: i и -i, каза Ченг. - Но не можем да кажем коя е коя! Математиците трябва просто да изберат един квадратен корен и да го нарекат i и другия -i.

  - Странно и чудесно - каза Ченг.

• 5 от 10 Кредит: Shutterstock i към силата на i

  Вярвате или не, има начини да направя дори още по-странно. Например, можете да повдигнете i до силата на i - с други думи, вземете квадратен корен от -1, издигнат до квадрат-корен-на-отрицателна-една сила.

  "На пръв поглед това изглежда като най-въображаемото възможно число - въображаемо число, издигнато до въображаема сила," Дейвид Ричесън, професор по математика в Дикинсън Колидж в Пенсилвания и автор на предстоящата книга"Приказки за невъзможност: 2000- Година на търсене за решаване на математическите проблеми на античността, (Princeton University Press), каза Live Science. - Но всъщност, както пише Леонард Ойлер в писмо от 1746 г., това е реално число!

  Намирането на стойността на i за силата включва пренареждане на формулата на Ойлер, отнасяща се до ирационалното число е, въображаемото число i и синуса и косинуса на даден ъгъл. Когато се решава формулата за ъгъл от 90 градуса (който може да се изрази като пи над 2), уравнението може да се опрости, за да се покаже, че i на силата на i е равно на e, повишено до силата на отрицателното pi над 2.

  Звучи объркващо ( това е пълното изчисление , ако се осмелите да го прочетете), но резултатът е равен на около 0,207 - много реално число. Най-малко, в случай на ъгъл от 90 градуса.

  "Както Euler посочи, i към i-тата сила няма една-единствена стойност", казва Richeson, а по-скоро приема "безкрайно много" стойности в зависимост от ъгъла, за който решавате. (Поради това е малко вероятно някога да видим "i на властта на деня", празнуван като календарна почивка.)

• 6 от 10 С уважение към: Луи Le Бретон / Dictionnaire Infernal Първичното число на Белфегор

  Първичното число на Белфегор е палиндромно просто число с 666 скрити между 13 нули и 1 от всяка страна. Зловещото число може да бъде съкратено като 1 0 (13) 666 0 (13) 1, където (13) означава броя на нулите между 1 и 666.

  Макар да не „открива“ този брой, учен и автор Клиф Пикковер направи известния номер на зловещо чувство, когато го нарече след Белфегор (или Беелфогор), един от седемте демонски принца на ада.

  Числото очевидно дори има свой собствен дяволски символ, който изглежда като обърнат надолу символ за пи. Според уебсайта на Pickover , символът произлиза от глифа в мистериозния ръкопис на Voynich, компилация от началото на 15-и век на илюстрации и текст, които никой не разбира.

• 7 от 10 2 ^ {aleph_0}

  Харвардският математик У. Хю Удин е посветил годините и годините си на научни изследвания на безкрайни числа и така не е изненадващо, че е избрал за любимо число безкраен: 2 ^ {aleph_0}, или 2, издигнат до силата на алефа. Алефските числа се използват за описване на размерите на безкрайните множества, където множеството е всяка колекция от различни обекти в математиката. (Значи числата 2, 4 и 6 могат да образуват набор от размер 3.)

  Що се отнася до това защо Удин избра номера, той каза: "Осъзнавайки, че 2 ^ {aleph_0} не е алеф_0 (т.е. теоремата на Кантор) е осъзнаването, че има различни размери на безкрайността. Така че това прави концепцията за 2 ^ {aeph_0 } по-скоро специален.

  С други думи, винаги има нещо по-голямо: безкрайните кардинални числа са безкрайни и затова няма такова нещо като "най-големия кардинален номер".

• 8 от 10 С уважение към Иън Куминг / Гети Имиджис Константата на Apйry

  "Ако назоваването на любим, тогава константата на Апери (zeta (3)), защото все още има някаква мистерия, свързана с нея," каза Харвардският математик Оливър Книл.

  През 1979 г. френският математик Роджър Апери доказа, че една стойност, известна като константата на Апери, е ирационално число. (Тя започва 1.2020569 и продължава безкрайно.) Константата се записва също като zeta (3), където "zeta (3)" е функцията на Риман, когато включите числото 3.

  Една от най-големите нерешени проблеми в математиката, хипотезата на Риман, прави прогноза за това кога зената функция на Риман е равна на нула и ако е доказана вярно, ще позволи на математиците да предскажат по-добре как се разпределят прости числа.

  От хипотезата на Риман известният математик от 20-ти век Дейвид Хилберт веднъж каза : „Ако се събудя след хиляда години, първият ми въпрос ще бъде:„ Доказана ли е хипотезата на Риман?

  Така че какво е толкова готино за тази константа? Оказва се, че константата на Apйry се появява в очарователни места във физиката, включително в уравненията, управляващи магнитната сила на електроните и ориентацията към ъгловия импулс.

• 9 от 10 Кредит: Shutterstock Номер 1

  Ед Letzter, математик в Temple университет във Филаделфия (и, пълно разкриване, бащата на живо Наука персонал писател Рафи Letzter), имаше практически отговор: t

  „Предполагам, че това е скучен отговор, но трябва да избера 1 като мой фаворит, както като брой, така и в различните му роли в толкова различни, по-абстрактни контексти“, каза той на живо.

  Единият е единственият номер, с който всички други числа се делят на цели числа. Това е единственият брой, който се дели на точно едно положително цяло число (себе си, 1). Това е единственото положително цяло число, което не е нито просто, нито композитно.

  И в математиката, и в инженерството, стойностите често са представени като между 0 и 1. "Сто процента" е просто фантастичен начин да се каже 1. Това е цяло и пълно.

  И разбира се, в науките 1 се използва за представяне на основни единици. Казва се, че един протон има такса от +1. В двоичната логика 1 означава да. Това е атомният номер на най-лекия елемент и това е размерът на права линия.

• 10 от 10 Автор: Якоб Емануел Ханман / Wikimedia Commons Самоличността на Ейлер

  Самоличността на Ойлер, която всъщност е уравнение, е истинско математическо бижу, поне както е описано от покойния физик Ричард Файнман. Тя също е сравнена със шекспировски сонет.

  Накратко, идентичността на Ойлер обединява редица математически константи: pi, естествен log e и въображаема единица i.

  "[It] свързва тези три константи с добавъчната идентичност 0 и мултипликативната идентичност на елементарната аритметика: e ^ {i * Pi} + 1 = 0", каза Девлин.

  Тук можете да прочетете повече за идентичността на Ойлер .

  Първоначално публикуван на живо наука 

9 числа, които са по-хладни от Pi От Live Научен персонал | 14 март, 2019 г. 07:20 ч. Ет  

• 1 от 10 Кредит: Olha Insight / Shutterstock Ние обичаме числата

  Това е 14 март, а това означава само едно нещо ... това е Pi Day и времето да празнуваме най-известния ирационален номер в света, pi. Съотношението на обиколката на кръга към нейния диаметър, pi не е просто ирационално, което означава, че не може да бъде записано като проста фракция; тя също е трансцендентална, което означава, че не е коренът, или решение, за всяко полиномно уравнение, като x + 2X ^ 2 + 3 = 0.

  But no so fast … pi may be one of the most well-known numbers, but for people who are paid to think about numbers all day long, the circle constant can be a bit of a bore. In fact, countless numbers are potentially even cooler than pi. We asked several mathematicians what their favorite post-pi numbers are; here are some of their answers.

• 2 of 10 Credit: Shutterstock Tau

  You know what"s cooler than ONE pie? … TWO pies. In other words, two times pi, or the number "tau," which is roughly 6.28.

  "Using tau makes every formula clearer and more logical than using pi," said John Baez, a mathematician at the University of California, Riverside. "Our focus on pi rather than 2pi is a historical accident."

  Tau is what shows up in the most important formulas, he said.

  While pi relates a circle"s circumference to its diameter, tau relates a circle"s circumference to its radius — and many mathematicians argue that this relationship is much more important. Tau also makes seemingly unrelated equations nicely symmetrical, such as the one for a circle"s area and an equation describing kinetic and elastic energy.

  But tau will not be forgotten on pi day! As per tradition, the Massachusetts Institute of Technology will send out decisions at 6:28 p.m. today. A few months from now, on June 28, tau will have its own day.

• 3 of 10 Credit: Shutterstock Natural log base

  The base of natural logarithms — written as "e" for its namesake, the 18th-century Swiss mathematician Leonhard Euler — may not be as famous as pi, but it also has its own holiday. Yup, while 3.14 is celebrated on March 14, natural log base, the irrational number beginning with 2.718, is lionized on Feb. 7.

  The base of natural logarithms is most often used in equations involving logarithms, exponential growth and complex numbers.

  "[It] has the wonderful definition as being the one number for which the exponential function y = e^x has a slope equal to its value at every point," Keith Devlin, the director of the Stanford University Mathematics Outreach Project in the Graduate School of Education, told Live Science. In other words, if the value of a function is, say 7.5 at a certain point, then its slope, or derivative, at that point is also 7.5. And, "like pi, it comes up all the time in mathematics, physics and engineering."

• 4 of 10 Credit: Shutterstock Imaginary number i

  Take the "p" out of "pi," and what do you get? That"s right, the number i. No, that"s not really how it works, but i is a pretty cool number. It"s the square root of -1, which means it"s a rule breaker, as you"re not supposed to take the square root of a negative number.

  "Yet, if we break that rule, we get to invent the imaginary numbers, and so the complex numbers, which are both beautiful and useful," Eugenia Cheng, a mathematician at the School of the Art Institute of Chicago, told Live Science in an email. (Complex numbers can be expressed as the sum of both real and imaginary parts.)

  i is an exceptionally weird number, because -1 has two square roots: i and -i, Cheng said. "But we can"t tell which one is which!" Mathematicians have to just pick one square root and call it i and the other -i.

  "It"s weird and wonderful," Cheng said.

• 5 of 10 Credit: Shutterstock i to the power of i

  Believe it or not, there are ways to make i even weirder. For example, you can raise i to the power of i — in other words, take the square root of -1 raised to the square-root-of-negative-one power.

  "At a glance, this looks like the most imaginary number possible — an imaginary number raised to an imaginary power," David Richeson, a professor of mathematics at Dickinson College in Pennsylvania and author of the forthcoming book "Tales of Impossibility: The 2,000-Year Quest to Solve the Mathematical Problems of Antiquity," (Princeton University Press), told Live Science. "But, in fact, as Leonhard Euler wrote in a 1746 letter, it is a real number!"

  Finding the value of i to the i power involves rearranging Euler"s formula relating the irrational number e, the imaginary number i, and the sine and cosine of a given angle. When solving the formula for a 90-degree angle (which can be expressed as pi over 2), the equation can be simplified to show that i to the power of i equals e raised to the power of negative pi over 2.

  It sounds confusing (here"s the full calculation, if you dare to read it), but the result equals roughly 0.207 — a very real number. At least, in the case of a 90-degree angle.

  "Както Euler посочи, i към i-тата сила няма една-единствена стойност", казва Richeson, а по-скоро приема "безкрайно много" стойности в зависимост от ъгъла, за който решавате. (Поради това е малко вероятно някога да видим "i на властта на деня", празнуван като календарна почивка.)

• 6 от 10 С уважение към: Луи Le Бретон / Dictionnaire Infernal Първичното число на Белфегор

  Първичното число на Белфегор е палиндромно просто число с 666 скрити между 13 нули и 1 от всяка страна. Зловещото число може да бъде съкратено като 1 0 (13) 666 0 (13) 1, където (13) означава броя на нулите между 1 и 666.

  Макар да не „открива“ този брой, учен и автор Клиф Пикковер направи известния номер на зловещо чувство, когато го нарече след Белфегор (или Беелфогор), един от седемте демонски принца на ада.

  Числото очевидно дори има свой собствен дяволски символ, който изглежда като обърнат надолу символ за пи. Според уебсайта на Pickover , символът произлиза от глифа в мистериозния ръкопис на Voynich, компилация от началото на 15-и век на илюстрации и текст, които никой не разбира.

• 7 от 10 2 ^ {aleph_0}

  Харвардският математик У. Хю Удин е посветил годините и годините си на научни изследвания на безкрайни числа и така не е изненадващо, че е избрал за любимо число безкраен: 2 ^ {aleph_0}, или 2, издигнат до силата на алефа. Алефските числа се използват за описване на размерите на безкрайните множества, където множеството е всяка колекция от различни обекти в математиката. (Значи числата 2, 4 и 6 могат да образуват набор от размер 3.)

  Що се отнася до това защо Удин избра номера, той каза: "Осъзнавайки, че 2 ^ {aleph_0} не е алеф_0 (т.е. теоремата на Кантор) е осъзнаването, че има различни размери на безкрайността. Така че това прави концепцията за 2 ^ {aeph_0 } по-скоро специален.

  С други думи, винаги има нещо по-голямо: безкрайните кардинални числа са безкрайни и затова няма такова нещо като "най-големия кардинален номер".

• 8 от 10 С уважение към Иън Куминг / Гети Имиджис Константата на Apйry

  "Ако назоваването на любим, тогава константата на Апери (zeta (3)), защото все още има някаква мистерия, свързана с нея," каза Харвардският математик Оливър Книл.

  През 1979 г. френският математик Роджър Апери доказа, че една стойност, известна като константата на Апери, е ирационално число. (Тя започва 1.2020569 и продължава безкрайно.) Константата се записва също като zeta (3), където "zeta (3)" е функцията на Риман, когато включите числото 3.

  Една от най-големите нерешени проблеми в математиката, хипотезата на Риман, прави прогноза за това кога зената функция на Риман е равна на нула и ако е доказана вярно, ще позволи на математиците да предскажат по-добре как се разпределят прости числа.

  От хипотезата на Риман известният математик от 20-ти век Дейвид Хилберт веднъж каза : „Ако се събудя след хиляда години, първият ми въпрос ще бъде:„ Доказана ли е хипотезата на Риман?

  Така че какво е толкова готино за тази константа? Оказва се, че константата на Apйry се появява в очарователни места във физиката, включително в уравненията, управляващи магнитната сила на електроните и ориентацията към ъгловия импулс.

• 9 от 10 Кредит: Shutterstock Номер 1

  Ед Letzter, математик в Temple университет във Филаделфия (и, пълно разкриване, бащата на живо Наука персонал писател Рафи Letzter), имаше практически отговор: t

  „Предполагам, че това е скучен отговор, но трябва да избера 1 като мой фаворит, както като брой, така и в различните му роли в толкова различни, по-абстрактни контексти“, каза той на живо.

  Единият е единственият номер, с който всички други числа се делят на цели числа. Това е единственият брой, който се дели на точно едно положително цяло число (себе си, 1). Това е единственото положително цяло число, което не е нито просто, нито композитно.

  И в математиката, и в инженерството, стойностите често са представени като между 0 и 1. "Сто процента" е просто фантастичен начин да се каже 1. Това е цяло и пълно.

  И разбира се, в науките 1 се използва за представяне на основни единици. Казва се, че един протон има такса от +1. В двоичната логика 1 означава да. Това е атомният номер на най-лекия елемент и това е размерът на права линия.

• 10 от 10 Автор: Якоб Емануел Ханман / Wikimedia Commons Самоличността на Ейлер

  Самоличността на Ойлер, която всъщност е уравнение, е истинско математическо бижу, поне както е описано от покойния физик Ричард Файнман. Тя също е сравнена със шекспировски сонет.

  Накратко, идентичността на Ойлер обединява редица математически константи: pi, естествен log e и въображаема единица i.

  "[It] свързва тези три константи с добавъчната идентичност 0 и мултипликативната идентичност на елементарната аритметика: e ^ {i * Pi} + 1 = 0", каза Девлин.

  Тук можете да прочетете повече за идентичността на Ойлер .

  Първоначално публикуван на живо наука .

9 числа, които са по-хладни от Pi От Live Научен персонал | 14 март, 2019 г. 07:20 ч. Ет  

• 1 от 10 Кредит: Olha Insight / Shutterstock Ние обичаме числата

  Това е 14 март, а това означава само едно нещо ... това е Pi Day и времето да празнуваме най-известния ирационален номер в света, pi. Съотношението на обиколката на кръга към нейния диаметър, pi не е просто ирационално, което означава, че не може да бъде записано като проста фракция; тя също е трансцендентална, което означава, че не е коренът, или решение, за всяко полиномно уравнение, като x + 2X ^ 2 + 3 = 0.

  But no so fast … pi may be one of the most well-known numbers, but for people who are paid to think about numbers all day long, the circle constant can be a bit of a bore. In fact, countless numbers are potentially even cooler than pi. We asked several mathematicians what their favorite post-pi numbers are; here are some of their answers.

• 2 of 10 Credit: Shutterstock Tau

  You know what"s cooler than ONE pie? … TWO pies. In other words, two times pi, or the number "tau," which is roughly 6.28.

  "Using tau makes every formula clearer and more logical than using pi," said John Baez, a mathematician at the University of California, Riverside. "Our focus on pi rather than 2pi is a historical accident."

  Tau is what shows up in the most important formulas, he said.

  While pi relates a circle"s circumference to its diameter, tau relates a circle"s circumference to its radius — and many mathematicians argue that this relationship is much more important. Tau also makes seemingly unrelated equations nicely symmetrical, such as the one for a circle"s area and an equation describing kinetic and elastic energy.

  But tau will not be forgotten on pi day! As per tradition, the Massachusetts Institute of Technology will send out decisions at 6:28 p.m. today. A few months from now, on June 28, tau will have its own day.

• 3 of 10 Credit: Shutterstock Natural log base

  The base of natural logarithms — written as "e" for its namesake, the 18th-century Swiss mathematician Leonhard Euler — may not be as famous as pi, but it also has its own holiday. Yup, while 3.14 is celebrated on March 14, natural log base, the irrational number beginning with 2.718, is lionized on Feb. 7.

  The base of natural logarithms is most often used in equations involving logarithms, exponential growth and complex numbers.

  "[It] has the wonderful definition as being the one number for which the exponential function y = e^x has a slope equal to its value at every point," Keith Devlin, the director of the Stanford University Mathematics Outreach Project in the Graduate School of Education, told Live Science. In other words, if the value of a function is, say 7.5 at a certain point, then its slope, or derivative, at that point is also 7.5. And, "like pi, it comes up all the time in mathematics, physics and engineering."

• 4 of 10 Credit: Shutterstock Imaginary number i

  Take the "p" out of "pi," and what do you get? That"s right, the number i. No, that"s not really how it works, but i is a pretty cool number. It"s the square root of -1, which means it"s a rule breaker, as you"re not supposed to take the square root of a negative number.

  "Yet, if we break that rule, we get to invent the imaginary numbers, and so the complex numbers, which are both beautiful and useful," Eugenia Cheng, a mathematician at the School of the Art Institute of Chicago, told Live Science in an email. (Complex numbers can be expressed as the sum of both real and imaginary parts.)

  i is an exceptionally weird number, because -1 has two square roots: i and -i, Cheng said. "But we can"t tell which one is which!" Mathematicians have to just pick one square root and call it i and the other -i.

  "It"s weird and wonderful," Cheng said.

• 5 of 10 Credit: Shutterstock i to the power of i

  Believe it or not, there are ways to make i even weirder. For example, you can raise i to the power of i — in other words, take the square root of -1 raised to the square-root-of-negative-one power.

  "At a glance, this looks like the most imaginary number possible — an imaginary number raised to an imaginary power," David Richeson, a professor of mathematics at Dickinson College in Pennsylvania and author of the forthcoming book "Tales of Impossibility: The 2,000-Year Quest to Solve the Mathematical Problems of Antiquity," (Princeton University Press), told Live Science. "But, in fact, as Leonhard Euler wrote in a 1746 letter, it is a real number!"

  Finding the value of i to the i power involves rearranging Euler"s formula relating the irrational number e, the imaginary number i, and the sine and cosine of a given angle. When solving the formula for a 90-degree angle (which can be expressed as pi over 2), the equation can be simplified to show that i to the power of i equals e raised to the power of negative pi over 2.

  It sounds confusing (here"s the full calculation, if you dare to read it), but the result equals roughly 0.207 — a very real number. At least, in the case of a 90-degree angle.

  "As Euler pointed out, i to the i power does not have a single value," Richeson said, but rather takes on "infinitely many" values depending on the angle you"re solving for. (Because of this, it"s unlikely we"ll ever see "i to the power of i day" celebrated as a calendar holiday.)

• 6 of 10 Credit: Louis Le Breton/Dictionnaire Infernal Belphegor"s prime number

  Belphegor"s prime number is a palindromic prime number with a 666 hiding between 13 zeros and a 1 on either side. The ominous number can be abbreviated as 1 0(13) 666 0(13) 1, where the (13) denotes the number of zeros between the 1 and 666.

  Макар да не „открива“ този брой, учен и автор Клиф Пикковер направи известния номер на зловещо чувство, когато го нарече след Белфегор (или Беелфогор), един от седемте демонски принца на ада.

  Числото очевидно дори има свой собствен дяволски символ, който изглежда като обърнат надолу символ за пи. Според уебсайта на Pickover , символът произлиза от глифа в мистериозния ръкопис на Voynich, компилация от началото на 15-и век на илюстрации и текст, които никой не разбира.

• 7 от 10 2 ^ {aleph_0}

  Харвардският математик У. Хю Удин е посветил годините и годините си на научни изследвания на безкрайни числа и така не е изненадващо, че е избрал за любимо число безкраен: 2 ^ {aleph_0}, или 2, издигнат до силата на алефа. Алефските числа се използват за описване на размерите на безкрайните множества, където множеството е всяка колекция от различни обекти в математиката. (Значи числата 2, 4 и 6 могат да образуват набор от размер 3.)

  Що се отнася до това защо Удин избра номера, той каза: "Осъзнавайки, че 2 ^ {aleph_0} не е алеф_0 (т.е. теоремата на Кантор) е осъзнаването, че има различни размери на безкрайността. Така че това прави концепцията за 2 ^ {aeph_0 } по-скоро специален.

  С други думи, винаги има нещо по-голямо: безкрайните кардинални числа са безкрайни и затова няма такова нещо като "най-големия кардинален номер".

9 числа, които са по-хладни от Pi От Live Научен персонал | 14 март, 2019 г. 07:20 ч. Ет  

• 1 от 10 Кредит: Olha Insight / Shutterstock Ние обичаме числата

  Това е 14 март, а това означава само едно нещо ... това е Pi Day и времето да празнуваме най-известния ирационален номер в света, pi. Съотношението на обиколката на кръга към нейния диаметър, pi не е просто ирационално, което означава, че не може да бъде записано като проста фракция; тя също е трансцендентална, което означава, че не е коренът, или решение, за всяко полиномно уравнение, като x + 2X ^ 2 + 3 = 0.

  But no so fast … pi may be one of the most well-known numbers, but for people who are paid to think about numbers all day long, the circle constant can be a bit of a bore. In fact, countless numbers are potentially even cooler than pi. We asked several mathematicians what their favorite post-pi numbers are; here are some of their answers.

• 2 of 10 Credit: Shutterstock Tau

  You know what"s cooler than ONE pie? … TWO pies. In other words, two times pi, or the number "tau," which is roughly 6.28.

  "Using tau makes every formula clearer and more logical than using pi," said John Baez, a mathematician at the University of California, Riverside. "Our focus on pi rather than 2pi is a historical accident."

  Tau is what shows up in the most important formulas, he said.

  While pi relates a circle"s circumference to its diameter, tau relates a circle"s circumference to its radius — and many mathematicians argue that this relationship is much more important. Tau also makes seemingly unrelated equations nicely symmetrical, such as the one for a circle"s area and an equation describing kinetic and elastic energy.

  But tau will not be forgotten on pi day! As per tradition, the Massachusetts Institute of Technology will send out decisions at 6:28 p.m. today. A few months from now, on June 28, tau will have its own day.

• 3 of 10 Credit: Shutterstock Natural log base

  The base of natural logarithms — written as "e" for its namesake, the 18th-century Swiss mathematician Leonhard Euler — may not be as famous as pi, but it also has its own holiday. Yup, while 3.14 is celebrated on March 14, natural log base, the irrational number beginning with 2.718, is lionized on Feb. 7.

  The base of natural logarithms is most often used in equations involving logarithms, exponential growth and complex numbers.

  "[It] has the wonderful definition as being the one number for which the exponential function y = e^x has a slope equal to its value at every point," Keith Devlin, the director of the Stanford University Mathematics Outreach Project in the Graduate School of Education, told Live Science. In other words, if the value of a function is, say 7.5 at a certain point, then its slope, or derivative, at that point is also 7.5. And, "like pi, it comes up all the time in mathematics, physics and engineering."

• 4 of 10 Credit: Shutterstock Imaginary number i

  Take the "p" out of "pi," and what do you get? That"s right, the number i. No, that"s not really how it works, but i is a pretty cool number. It"s the square root of -1, which means it"s a rule breaker, as you"re not supposed to take the square root of a negative number.

  "Yet, if we break that rule, we get to invent the imaginary numbers, and so the complex numbers, which are both beautiful and useful," Eugenia Cheng, a mathematician at the School of the Art Institute of Chicago, told Live Science in an email. (Complex numbers can be expressed as the sum of both real and imaginary parts.)

  i is an exceptionally weird number, because -1 has two square roots: i and -i, Cheng said. "But we can"t tell which one is which!" Mathematicians have to just pick one square root and call it i and the other -i.

  "It"s weird and wonderful," Cheng said.

• 5 of 10 Credit: Shutterstock i to the power of i

  Believe it or not, there are ways to make i even weirder. For example, you can raise i to the power of i — in other words, take the square root of -1 raised to the square-root-of-negative-one power.

  "At a glance, this looks like the most imaginary number possible — an imaginary number raised to an imaginary power," David Richeson, a professor of mathematics at Dickinson College in Pennsylvania and author of the forthcoming book "Tales of Impossibility: The 2,000-Year Quest to Solve the Mathematical Problems of Antiquity," (Princeton University Press), told Live Science. "But, in fact, as Leonhard Euler wrote in a 1746 letter, it is a real number!"

  Finding the value of i to the i power involves rearranging Euler"s formula relating the irrational number e, the imaginary number i, and the sine and cosine of a given angle. When solving the formula for a 90-degree angle (which can be expressed as pi over 2), the equation can be simplified to show that i to the power of i equals e raised to the power of negative pi over 2.

  It sounds confusing (here"s the full calculation, if you dare to read it), but the result equals roughly 0.207 — a very real number. At least, in the case of a 90-degree angle.

  "As Euler pointed out, i to the i power does not have a single value," Richeson said, but rather takes on "infinitely many" values depending on the angle you"re solving for. (Because of this, it"s unlikely we"ll ever see "i to the power of i day" celebrated as a calendar holiday.)

• 6 of 10 Credit: Louis Le Breton/Dictionnaire Infernal Belphegor"s prime number

  Belphegor"s prime number is a palindromic prime number with a 666 hiding between 13 zeros and a 1 on either side. The ominous number can be abbreviated as 1 0(13) 666 0(13) 1, where the (13) denotes the number of zeros between the 1 and 666.

  Although he didn"t "discover" the number, scientist and author Cliff Pickover made the sinister-feeling number famous when he named it after Belphegor (or Beelphegor), one of the seven demon princes of hell.

  The number apparently even has its own devilish symbol, which looks like an upside-down symbol for pi. According to Pickover"s website, the symbol is derived from a glyph in the mysterious Voynich manuscript, an early 15th-century compilation of illustrations and text that no one seems to understand.

• 7 of 10 2^{aleph_0}

  Харвардският математик У. Хю Удин е посветил годините и годините си на научни изследвания на безкрайни числа и така не е изненадващо, че е избрал за любимо число безкраен: 2 ^ {aleph_0}, или 2, издигнат до силата на алефа. Алефските числа се използват за описване на размерите на безкрайните множества, където множеството е всяка колекция от различни обекти в математиката. (Значи числата 2, 4 и 6 могат да образуват набор от размер 3.)

  Що се отнася до това защо Удин избра номера, той каза: "Осъзнавайки, че 2 ^ {aleph_0} не е алеф_0 (т.е. теоремата на Кантор) е осъзнаването, че има различни размери на безкрайността. Така че това прави концепцията за 2 ^ {aeph_0 } по-скоро специален.

  С други думи, винаги има нещо по-голямо: безкрайните кардинални числа са безкрайни и затова няма такова нещо като "най-големия кардинален номер".

• 8 от 10 С уважение към Иън Куминг / Гети Имиджис Константата на Apйry

  "Ако назоваването на любим, тогава константата на Апери (zeta (3)), защото все още има някаква мистерия, свързана с нея," каза Харвардският математик Оливър Книл.

  През 1979 г. френският математик Роджър Апери доказа, че една стойност, известна като константата на Апери, е ирационално число. (Тя започва 1.2020569 и продължава безкрайно.) Константата се записва също като zeta (3), където "zeta (3)" е функцията на Риман, когато включите числото 3.

  Една от най-големите нерешени проблеми в математиката, хипотезата на Риман, прави прогноза за това кога зената функция на Риман е равна на нула и ако е доказана вярно, ще позволи на математиците да предскажат по-добре как се разпределят прости числа.

  От хипотезата на Риман известният математик от 20-ти век Дейвид Хилберт веднъж каза : „Ако се събудя след хиляда години, първият ми въпрос ще бъде:„ Доказана ли е хипотезата на Риман?

  Така че какво е толкова готино за тази константа? Оказва се, че константата на Apйry се появява в очарователни места във физиката, включително в уравнения

9 числа, които са по-хладни от Pi От Live Научен персонал | 14 март, 2019 г. 07:20 ч. Ет

 

• 1 от 10 Кредит: Olha Insight / Shutterstock Ние обичаме числата

  Това е 14 март, а това означава само едно нещо ... това е Pi Day и времето да празнуваме най-известния ирационален номер в света, pi. Съотношението на обиколката на кръга към нейния диаметър, pi не е просто ирационално, което означава, че не може да бъде записано като проста фракция; тя също е трансцендентална, което означава, че не е коренът, или решение, за всяко полиномно уравнение, като x + 2X ^ 2 + 3 = 0.

  But no so fast … pi may be one of the most well-known numbers, but for people who are paid to think about numbers all day long, the circle constant can be a bit of a bore. In fact, countless numbers are potentially even cooler than pi. We asked several mathematicians what their favorite post-pi numbers are; here are some of their answers.

• 2 of 10 Credit: Shutterstock Tau

  You know what"s cooler than ONE pie? … TWO pies. In other words, two times pi, or the number "tau," which is roughly 6.28.

  "Using tau makes every formula clearer and more logical than using pi," said John Baez, a mathematician at the University of California, Riverside. "Our focus on pi rather than 2pi is a historical accident."

  Tau is what shows up in the most important formulas, he said.

  While pi relates a circle"s circumference to its diameter, tau relates a circle"s circumference to its radius — and many mathematicians argue that this relationship is much more important. Tau also makes seemingly unrel