Първо СОУ „Пенчо П. Славейков”, София РЕШЕНИ ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКА ОТ КОМБИНАТОРИКА И ВЕРОЯТНОСТИ Задачите са от учебници за 10 клас, „Тестове за подготовка на зрелостен изпит” – изд. „Анубис”, „Текстови задачи за държавни зрелостни изпити” – изд. „Булвест 2000”, ”Матура за отличен” – изд. „Просвета”, давани задачи на Зрелостен изпит – 2008 г. Задачите са събрани и решени от Здравка Поплазарова Компютърна обработка – ученици от 10б клас – Илия, Ина, Кристиян, Магдалена, Марина, Милослав, Моника, Недю, Никол, Теодора, Христо с ръководител Мария Калоянова. Редактори Здравка Поплазарова и Мария Калоянова Декември 2008 година София o Пермутации !nPn= o Вариации !(knnVnk=− )! o Комбинации !()!!knnnCknkk⎛⎞⎜⎟⎝⎠==− nP- Всички нареждания на n елемента в n- членни редици. knV- Всички k-членни редици от n елемента, различаващи се една от друга по елементите или по реда, в който са взети. knC- Всички k-елементни подмножества на множеството от n елемента, за които редът на елементите не е от значение. Заб. Броят на комбинациите на k елемента от n-ти клас ()knCе равен на вариациите на k елемента от n–ти клас(, разделен на броя на повторенията на k елемента – пермутации . Под „повторения” се разбира ) knV!kPk=k-членни редици, съдържащи еднакви елементи, различаващи се по място. ! ! ( )! ! ( )!! k k k n n P k n C V n k n nn k k k ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = − = = − o Вероятност /класическа/ БройблагоприятнисъбитияPБройнавсичкисъбития= [0;1]P→∈ Вероятността да се случи благоприятно събитие е броят на благоприятните възможности /събития/, разделен на броя на всички възможности /събития/. Вероятността да се случи благоприятно събитие()P + вероятността да се случи неблагоприятно събитие()P е 1. 1PP→+= 2 1) ! Колко десетцифрени числа могат да се съставят,като всяка цифра се използва само веднъж? Решение: Цифрите са 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 – 10 цифри. На първо място имаме избор от 10 цифри, на второ – от 9, на трето – от 8, ... на второ място – избор от девето цифри и на десето – от 1, т.е. 10! възможности. Ако на първо място сложим 0, тогава на второ имаме избор от 9 цифри, на трето – от 8, на четвърто – от 7, ..., на десето – от 1 цифра, т.е. 9! възможности. Число не може да започва с 0 10! − 9! = 10.9! – 9! = (10–1).9! = 9.9! = 3265920 ⇒ Друг начин за разсъждаване: на първо място имаме избор от 9 цифри /без 0/, за второ място остава избор отново от 9 цифри / 0 се връща като възможен избор, но една от цифрите вече сме сложили на първо място и я отстраняваме, защото не бива да повтаряме, така остават 9 възможности/, на трето място – избор от 8 цифри, на четвърто – избор от 7, ..., на девето – от 2, на десето – от 1 ⇒ 9.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 9.9! = 3265920. 2) По колко различни начина могат 7 книги да бъдат подредени на една полица? Решение: 7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5040 3) ! Колко прави минават през 8 точки, никои три от които не лежат на една права? Решение: (Две точки определят една права и няма значение коя е първа и коя е втора, т.е. редът на елементите не е от значение.) 2828.72.1!.68.7!.6!2!.6!828====C 4) Колко равнини минават през 7 точки, никои три от които не лежат на една права и никои 4 не лежат в една равнина? Решение: (Три точки, нележащи на 1 права определят една равнина.) 353.2.1!.47.6.5!.4!3!.4!737===C 5) ! Колко диагонала има правилен n-ъгълник? Решение: Всички прави през две точки са: ⇒−=−−−=−=2)1(2.1)!.2()1()!2(!2)!2(!2nnnnnnnnCn Изваждаме броя на страните ⇒23222)1(22nnnnnnnn−=−−=−− диагонала. 6) ! Колко фиша могат да се попълнят в играта „6 от 49” на Спортния тотализатор така, че във всеки да фиш да има точно три числа от 1 до 10? Решение: Първите 3 числа измежду числата до 10 можем да изберем по начина. Като махнем числата от 1 до 10, до 49 остават 39 числа и измежду тях трябва да изберем другите 3 за фиша, а това межем да направим по начина. При всеки избор на първите 3 числа, можем по начина да изберем вторите, а за първите 3 имаме възможности. Следователно възможностите са 310C339C339C310C109668013.19.37.1203.239.38.37.3.210.9.83.2.1!.3639.38.37!.36.3.2.1!.710.9.8!.7!3!.36!39.!3!.7!10.339310=====CC 7) ! Конспект за матура има 20 въпроса и 25 задачи. Колко различни комбинации могат да се съставят, ако изпитен билет съдържа 2 билета и 3 задачи? Решение: Възможните избори на 2 от 20 въпроса са , а възможните комбинации на 3 от 25 задачи са . Всеки избор на въпроси може да се съпостави с всеки избор на задачи. 220C325C23202520!25!18!.19.2022!.23.24.25...190.230043700018!.2!22!.3!18!.222!.1.2.3CC⇒==== 8) В играта „Бридж” се раздават по 13 карти на играч измежду 52 карти. По колко различни начина един играч може да получи 13 карти? 3 Решение: Редът на елементите няма значение, тук – в какъв ред се раздават картите. Избираме 13 от 52 карти по начина. 1352C135252!39!40.41.42.43.44.45.46.47.48.49.50.51.5239!.13!39!1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13C⇒== = 41.42.43.4.45.46.47.48.49.5.5141.43.4.45.46.47.4.49.5.512.3.6.7.9.126.941.43.4.15.23.47.4.49.5.1738116060.49.20.1738116060.16666350135596003====== 9) Колко петцифрени числа могат да се образуват от цифрите 0, 1, 2, 3, 4? Решение: От 5 цифри → 1205.4.3.2.1!55===P числа. Числата не могат да започват с 0 9624120!4!545=−=−=−⇒PP 10) ! По колко начина могат да бъдат разпределени в един ден 9 учебни предмета, ако в дневната програма се включват 5 различни учебни предмета? 30.56.9 15120 4! 4!.5.6.7.8.9 (9 5)! 5 9! 9 = = = − = Решение: V, защото редът на предметите има значение. 11) Колко са четирицифрените числа, които съдържат цифрите 1, 2, 3 и 4 точно по един път? 1.2.3.4 24 4 P = = , !44=PРешение: 12) Колко са четирицифрените числа, в които се срещат само цифрите 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и никоя цифра не се повтаря? Решение: Избираме 4 от 7 цифри и има значение коя на кое място е. 4 7 7! 3!.4.5.6.7 4.5.6.7 840 3! 3! ⇒V = = = = 13) Тото играчите попълват 6 от 49. Колко различни фиша могат да се попълнят? 13983816 15 44.45.46.47.49 43!.1.2.3.4.5.6 43!.44.45.46.47.48.49 43!.6! 6 49! 49 = = = = C Решение: 14) Колко е броят на четирицифрените числа, в които се срещат само цифрите 0, 1, 2, 3, 4, 5 и никоя от тях не се повтаря? 4 3 6 5 6! 5! 5!.6 5! 5!.(6 1) 1.2.3.4.5.5 300 2! 2! 2 2 2 − − / − = − = = = = / VV Решение: С ‘0’ не може да започва число, а броят на 0*** е . 35V 15) Колко прави линии могат да се построят през 8 точки, никои от три които не лежат на една права? 2 8 8! 6!.7.8 56 28 6!.2! 6!.2 2 = = = = C Решение: 16) ! По колко различни начина могат да се подредят 5 различни книги в една редица на библиотеката? Решение: 5 книги, за всички има място 55!1.2.3.4.5120P→=== 17) По колко различни начина могат да седнат 6 ученика на една пейка? Решение: 6 P = 6!=1.2.3.4.5.6 = 720 18) ! По колко различни начина могат да се подредят 5 души в един кръг? Решение: – един от тях може да застане където иска и според него другите ще се подреждат. 4 P = 4!=1.2.3.4 = 24 19) ! По колко различни начина могат да седнат на една пейка 5 ученика, ако двама от тях не искат да се разделят и трябва да са един до друг? 4 Решение: Двамата броим за един , но те могат да си разменят местата 4P→ 4 →2.P = 2.4!= 2.1.2.3.4 = 48 20) Колко трицифрени числа могат да се съставят от цифрите 1, 3, 4, 6? 3 4 4! 1.2.3.4 24 (4 3)! 1! = = = − V Решение: 21) Дадени са 7 различни по цвят ленти. Колко различни трицветни знамена могат да се ушият от тях? 3 7 7! 4!.5.6.7 5.6.7 210 (7 3)! 4! = = = = − V Решение: 22) От една група от 15 спортиста трябва да се изберат 4 участника за щафета 800+400+200+100. По колко начина може да стане това? Решение: Трябва да изберем 4-ма от 15, като има значение мястото – на кой по ред пост ще бяга спортистът, защото дистанциите са различни. 41015!11!.12.13.14.1512.13.14.1532760(154)!11!V⇒====− 23) Колко четирицифрени числа могат да се напишат с цифрите 2, 0, 5, 8, 9? Решение: 5 цифри на 4 места 43545!4!1.2.3.4.51.2.3.41202496(54)!(43)!1!1!VV→−=−=−=−=−− 24) По колко различни начина могат да се изберат трима дежурни от група от 20 души? 3 20 20! 17!.18.19.20 18.19.20 1140 17!.3! 17!.1.2.3 6 = = = = C Решение: 25) Дадени са ‘n’ точки в равнината, като никои три от тях не лежат на една права. Намерете броя на правите, които се получават като се съединяват всеки две от точките. 2 ! ( 2)!.( 1) ( 1) n ( 2)!.2! ( 2)!.1.2 2 n n n n n n n n − − − = = = − − C Решение: 26) Шампионатът по футбол, в който участват 16 отбора, се провежда така че всеки отбор се среща два пъти с всеки друг отбор. Колко е броят на срещите, които се провеждат? 2 16 2. 2. 16! 14!.15.16 15.8 120 (16 2)!.2! 14!.2! C = = = = − Решение: – комбинираме ги по 2 отбора по начина и всяка двойка играе по два мача. 216C Или: , защото в двойките има значение домакин-гост. 216V 27) ! Събрание от 80 човека трябва да избере председател, секретар и трима членове на комисия. По колко начина може да стане това? Решение: От 80 души избираме двама за председател и секретар – вариации, защото мястото има значение; от останалите 78 души избираме трима членове с комбинации, защото са равнопоставени и мястото няма значение. 23807880!78!78!.79.8075!.76.77.7876.77.78...79.80.79.80.76.77.1378!75!.3!78!75!.1.2.36VC===== 36984640.13 Същото се получава, ако първо изберем трима членове от 80 души, а после двама за председател и секретар от останалите 77 32807780!77!77!..77!.3!75!CV→==.78.79.8077!75!..1.2.3.76.7775!78.79.80.76.7713.79.80.76.7736984640.136=== Или – избираме двама за председател и секретар по начина /така мястото им няма значение/, но те могат да разпределят длъжностите си по 2 начина , тримата членове избираме от останалите 78 по начина, като при тях мястото няма значение. 2380782.CC280C2802.C⇒378C 5 Или 80.79.C – на първо място 80 възможни, на второ – 79, остават за избор на членовете. 378C378 28) По колко различни начина може да се образува разузнавателна група от трима офицери и седем войника, ако има всичко 10 офицера и 20 войника? 3 7 10 20 . 10! . 20! 7!.8.9.10 .13!.14.15.16.17.18.19.20 120.16.17.18.19.20 7!.3! 13!.7! 7!.1.2.3 13!.1.2.3.4.5.6.7 4.6 = = = = Решение: CC 120.775209302400== 29) ! Тридесет души трябва да се разделят на три групи по 10 човека. По колко различни начина може да стане това? Решение: Избираме първите 10 от 30 души по начина, редът няма значение. Остават 20 души и от тях избираме 10 по начина. Остават 10 души, които можем да изберем по само 1 начин (1030C1020C)10101C= Така получаваме на брой избора на 3 групи по 10, но при това ще има 10103020..CC 1 повторения на групите. По условие групите нямат номера, следователно са равнопоставени, т.е. за тях редът няма значение. Броят на ПОВТОРЕНИЯТА на 3 елемента /в случая групи/ е и за да изключим тези повторения, трябва да разделим на 3P3P101010103020302033..11130!...3!20!CCCCPP⇒==20!..10!10!.10!= 10!=.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.....303!.10!.10!.1.2.3.4.5.6.7.8.9.1011.12.13.16==.17.18.19.20.21.22.23.25.26.27.28.29.301.2.3.1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.8.9.1011.12.13.17.19.21.22.23.5.26.27.299.8.911.13.17.19.21.1123.5.26.29969969.953810925166131890====== 30) ! По колко различни начина може да се разпределят 12 различни предмета между три лица A, B, C, така че всяко от тях да получи по 4 предмета? Решение: Избираме за А – 4 предмета от 12 по начина. Остават 8 предмета. Избираме за В – 4 предмета от 8 по начина. За С остават 4 предмета по 1 начин 412C48C()441C=. Хората са различни, затова редът на групите от 4 предмета има значение и няма да делим на повторенията. 4 4 12 8 . 12! 8! ⇒C C = . 8! .4! 12 4!.4! = .11.10.9.8.7.6.5. 4! 4!. 4.3. 2.4.3.2 =11.10.9.7.5 = 34650 31) ! По колко различни начина една колода от 36 карти може да се раздели на две половини, така че във всяка половина да има по две аса? Решение: Като махнем асата, остават 32 карти, половината от тях е 16. Избираме 16 от 32 карти като мястото няма значение по начина. Две от четирите аса избираме по начина. . 1632C24C162324.CC⇒ 32) ! Учениците от един клас изучават 9 различни предмета. По колко начина може да се състави учебна програма за един учебен ден от 5 различни учебни часа, в който да се изучават 5 различни учебни предмета, при условие, че история и география не може да се изучават в един ден. Решение: Като махнем географията остават 8 предмета, от които да подредим 5 часа, а това става по начина. Това включва и всички подредби, в които няма нито история, нито география. 58V Махаме географията. Ако имаме първи час история, останалите 4 часа можем да подредим по начина. Аналогично, ако история е втори, трети, четвърти или пети час. Така за избор на часа по история имаме 5 възможности, а за останалите четири часа – възможности да включим 47V475.V⇒ 4 7 V 6 история в програмата. 54878!7!3!.4.5.6.7.85.3!.4.5.6.755.4.5.6.7(85)120.7.13109203!3!3!VV+⇒+=+==+== 33) В турнир по хандбал участват 8 отбора. Ако има безспорен фаворит за златния медал, то по колко различни начина могат да се разпределят златния, сребърния и бронзовия медали в турнира? Решение: Без фаворита остават 2 различни медала за разпределяне измежду 7 отбора. 2 7 7! 5!.6.7 6.7 42 (7 2)! 5! ⇒V = = = = − 34) ! На рафт са подредени събрани съчинения в 30 тома. По колко начина могат да се подредят така, че трети и четвърти том да не стоят един до друг? Решение: Всички подреждания на 30 тома са 30!. От тях трябва да извадим тези, в които двата тома са един до друг. Ако броим двата тома за 1 обект, получаваме 29 обекта, които можем да подредим по 29! начина, но двата тома могат да си разменят местата. начина да подредим 30-те тома, като трети и четвърти са един до друг. 2.29!⇒ 30!2.29!29!.302.29!29!(302)29!.28⇒−=−=−= 35) Пет момчета и три момичета трябва да се подредят в два реда за снимка, като момчетата са прави, а момичетата са седнали пред тях. По колко различни начина могат да се подредят? Решение: Подреждането на момичетата()3P не зависи от подреждането на момчетата()5P. 53.5!.3!5.4.3.2.1.3.2.1720PP⇒=== 36) Броят на различните начини, по които могат да се подредят в редица (за снимка) Иван и четиримата му приятели, така, че Иван да е винаги в средата е: Решение: 1 2 И 3 4 44!4.3.2.124P→=== 37) В олимпиадата по математика участват отбори от по трима души. Ако отборът се прави измежду шест ученици, какъв е броят на възможнните отбори? 3 6 6! 3!.4.5.6 4.5 20 3!.3! 3!.3.2.1 = = = = C Решение: 38) Колко вида знамена могат да се направят чрез различно подреждане на три ленти плат (бяла, зелена и червена) хоризонтално една под друга? Решение: 3 6 3! 3.2.1 6 БЗЧ БЧЗ ЗБЧ ВЪЗМОЖНОСТИ P ЗЧБ ЧЗБ ЧБЗ ⎞⎟⎟⎟ → = = = ⎟⎟⎟⎟⎟⎠ 39) В една зала за танци има n момчета и n момичета. По колко начина те могат да образуват танцови двойки? Решение: Всяко момиче може да бъде поканено от всяко момче, нека момичетата не сменят местата си⇒броят на двойките е равен на броя на подрежданията в множеството на момчетата, т.е. !nPn= Или: първото момче има избор от n момичета, второто – от (n – 1) момичета, ... n-тото момче има избор от 1 момиче, а това са n! възможности. 40) Колко двуцифрени числа могат да се напишат с цифрите 1, 2, 3, и 4 без повтаряне на цифрите? 7 Решение: ( ) 12 2.1 4.3.2.1 4 2 ! 4! 14 24 34 43 13 23 32 42 12 21 31 41 2 4 = = − ⇒ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ V 41) ! Телефонен номер се състои от 5 различни цифри. Колко са възможностите за останалите три цифри, ако номерът започва с 25? Решение: Всичките цифри са 10 0, 1, →2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Изоставям 2 и 5 остават 8 цифрис тези 8 цифри ще имаме вариации от 3⇒⇒-ти клас (за останалите 3 цифри) 3366.7.8!58.7.6!.5)!38(!838===−=V 42) Колко трицифрени числа могат да се съставят с цифрите 3, 0, 4 и 7, така че да не се повтаря никоя от тях? Решение: Vброят на всички възможни вариации, броят на вариациите на числата, започващи с 0 3 − 4 −23V32434!3!4!3!4.3.2.13.2.124618(43)!(32)!VV⇒−=−=−=−=−=−− 43) Да се намери броят на диагоналите в изпъкнал 12-ъгълник? Решение: През 2 точки минава само една права ()662!.1012.11!.10!2!.212!12212==−=⇒C В тези 66 прави са включени и правите,минаващи през два съседни върха (т.е.страните)⇒да извадим броя на страните диагонала. 541266=−⇒ 44) ! В партида от 18 детайла 4 са нестандартни. По колко начина могат да се вземат случайно 5 детайла, от които 2 са нестандартни? Решение: 18 детайла = 4 нестандартни +14 стандартни 2 − 4 C начина да се вземат от 4 нестанд. 2 нестанд. Броят на взетите детайли е 5 = 2 нестанд. + 3 стандартни ⇒ за всеки от (начина за вземане на нестанд.) съответстват (начина за вземане на стандартни) 24C314C218414.26.61.2.3!.1114.13.12!.11.1.2!.21.2.3.4!3)!.314(!14.!2)!.24(!431424===−−=⇒CC 45) В партида има 5 изделия за 1-во качество и 10 изделия от 2-ро качество. По колко начина могат случайно да се вземат 3 изделия, така че: (а) трите да са от 1-во качество; (б) трите да са от 2-ро качество; (в) двете да са от 1-во к-во, а едното от 2-ро; (г) двете да са от 2-ро, а едното от 1-во. (а) 10!3.25.4!.3!3!.2!535===C (б) 1201.2.3!.710.9.8!.7!3!.7!10310===C (в) 10010.101!.910!.9.1.2!.35.4!.3!1!.9!10.!2!.3!511025====CC (г) 22545.52!.810.9!.8.!45!.4!2!.8!10.!1!.4!521015====CC 46) В един клас има 15 момчета и 20 момичета. Намерете по колко различни начина може да се състави представителна група от 2 момчета и 3 момичета. 8 Решение: ()()23152015!20!13!.14.1517!.18.19.20...105.1140119700152!.2!203!.3!13!.217!.3.2.1CC===−− = 47) По колко различни начина могат да бъдат назначени 2 чистачки и 3 машинописки, ако кандидатите за чистачки са 9, а за машинописки −14. 2 3 9 14 . 9! . 14! 7!.8.9 .11!.12.13.14 36.364 13104 7!.2! 11!.3! 7!.2 11!.3.2.1 = = = = CC Решение: 48) ! Колко прави могат да се прекарат: а) през 8 точки, никои 3 от които не лежат на една права; б) през 10 точки, 3 от които лежат на една права. Решение: а) 282!.68.7!.6!2!.6!828===C; б) От правите през 10 точки трябва да извадим трите прави, минаващи през 3 точки и вместо тях да прибавим 1 права – на която лежат трите точки:2221031010!8!.9.10131224528!.2!8!.2CCC−+=−+=−=−=−=43. 49) В колко точки се пресичат 6 прави, които лежат в една равнина, но не минават през една и съща точка и никои 2 от тях не са успоредни? 2 6 6! 4!.5.6 15 4!.2! 4!.2! = = = Решение: C 50) ! През колко точки, никои три от които не лежат на една права, могат да се прекарат: а) 28 прави; б) 55 прави. Решение: а) 2(1)(2)!!2828(2)!2!nnnnnCn−−=→=→−(2)!n−28.2= 2128115560702nnnnn→=±−−=→=→=−< Отг. 8 точки. ⇒ б) ()()221(1)(2)!55555511002!2!2!2nnnnnCn n n n − − = → = → = → − − = − − 12100 .121112неерешn→−⇒=→− 130) По колко различни начина може да се състави учебна програма за един 6-часов учебен ден от седмицата за 6 различни учебни предмета? Решение: 6! 6.5.4.3.2 720 6 P = = = 131) В кутия има 3 бели, 2 червени, 5 сини и 8 зелени топки. По случаен начин е извадена една от тях. Каква е вероятността тя да не е червена или зелена? Решение: 3 бели + 2 червени + 5 сини + 8 зелени = 18 топки са всичките; 2 червени + 8 зелени = 10 топки искаме да се падне една от останалите 8 ⇒94188==⇒p 132) ! Броят на различните номера на мобилни телефони от вида 08882***** , които завършват на едноцифрено просто число е ... Решение: 08882 ****7 08882 ****5 08882 ****3 08882 ****2 Цифрите **** могат да се повтарят. 441010=→=VnVkkn за едно просто са всичките мобилни номера n10.4⇒ 133) ! 20% от топките в спортен магазин са червени, 60% от червените топки са футболни, а 50% от топките, които не са червени, не са футболни. Каква е вероятността при случаен избор от всички футболни топки клиентът да попадне на червена? Решение: x – всички топки; 20% от x = xx5110020= са червени 80% от xxx5410080== не са чевени 60% от xxx25351.1006051== червени футболни 50% от xxx5254.2154== не са футболни останалите 50% от →x54 са нечервени футболни →x52 - нечервени футболни 332525313225525313xxчервенифутболниpфутболниxxx===+ = 134) Каква е вероятността случайно избрана карта от колода от 52 карти да е купа или каро? Решение: 52 : 4 = 13 карти от боя, купа + каро → 26 карти → 215226==p 135) В равнината са дадени 18 точки, никои три от които не лежат на една права. Колко на брой са триъгълниците с върхове тези точки? 3 18 18! 15!.16.17.18 816 15!3! 15!.3.2 = = = Решение: C 136) Буквите на Морзовата азбука се записват като последователност от точки и тирета. Какъв е броят на различните букви, които могат да се запишат с 5 символа? Решение: Да се напишем всички възможности: 21 – – – – – – – – – · – – – · – – – · – – – · – – – · – – – – – – – ·· – – · · – · – – · – – ·· – – – – · – · – · – · – · – · – – · – – – · – · – – · · · – – – – – ··· · · · – – · · – – · – · · – · · – – · · ·· – · – · – · – · – · – ·· – – · · – · – · · – – · · · · · – · · · · · – · · · · · – · · · · · – · · · · · 1 буква 5 букви 10 букви 10 букви 5 букви 1 буква 1+5+10+10+5+1 = 32 букви 137) Каква е вероятността да се сбъдне събитието: ‘Сборът от точките при хвърляне на два правилни зара да е 4’? Решение: 6.6 = 36 са всичките възможности. Благоприятните случаи: 1 + 3 = 4, 2 + 2 = 4, 3 + 1 = 4 ⇒ 3 случая, в които сумата е 4 313612p⇒== 138) По колко начина може да се разпределят 6 различни предмета между 3 лица , така че всеки да получи 2 предмета? Решение: C . 2 90 4 2 6 C = 139) В една кутия има 10 нови и 5 стари топки за тенис. По случаен начин са извадени 2 топки. Да се намери на колко е равна вероятността едната от тях да е нова, а другата – стара? Решение: 10 +5 =15 топки общо 2 15 C =105 начина да се извадят 2 топки от 15 10 . 5 = 50 начина да се извади 1 стара и 1 нова топка 501010521p→== 140) Колко са различните 5 – буквени ‘думи’ с различни букви, които могат да се образуват от буквите в думата ‘ТАКСИ’? Решение: 5! 5.4.3.2 120 5 P = = = 141) Кодът на куфар се състои от четири различни нечетни цифри. Най-големият брой опити, които трябва да се направят, за да се открие кодът на този куфар е ... Решение: 1 , 3, 5, 7, 9 – 5-те нечетни цифри 5! 5.4.3.2. 120 1! 4 5! 5 V = = = = опита 142) В един клас има 14 момичета и 12 момчета. Избират се 5 ученика да участват във викторина. Каква е вероятността в групата да има 3 момчета и 2 момичета? Решение: 14 + 12 = 26 ученика, начина да се изберат 5 от 26 ученика начина да се изберат 3 от 14 момчета 52665780C= 3 14 C = 26.14 22 21266C= начина да се изберат 2 от 12 момичета 231214526.66.26.144265780115CCpC=== 143) Броят на трицифрените числа с различни цифри, записани с цифрите 1, 3, 5, 7 и 9 е: 60 2 5.4.3.2 2! 3 5! 5 = = V Решение: 144) ! В училищен футболен турнир са проведени 30 срещи, като всеки 2 отбора се срещат 2 пъти. Колко отбора участват в турнира? 30 30 0 ( 2)! 30 ( 2)!( 1) ( 2)! 2 30 ! = → 2 − − = − − − = → − = → n n n n n n n n n V Решение: 12611152nnn→=±=→=− Отг. 6 отбора са участвали в 30 мача 60=→>nn 145) Да се реши уравнението: 5122104nnnnVPVP++−−=, n – естествено число. Решение: 0 ! !( 1)( 2) 4( 4)!( 1)! 0 ( 1)!( 3)! ! ( 2)! ( 1 2)! 4.( 1)! ( 1 5)! ( 1)! n n n n n n n n n n n n n n + + − − − + − = → + − − − − + − + 0)2)(1(4)3)(1(0)2)(1()!4()!1(4)3()!4)(1()!1(=++−−+→=++−−−−−+−nnnnnnnnnnnnnn()())(1)342011010 ..nnnnnnнр+−−+=⎡⎤⎣⎦+=→=−< )221,223480788798102nnnnnnnnn 0 −−−=→−−=→=±=→=→=−< Отг. n = 8 146) Осемцифрова компютърна парола е съставена с помощта на различни цифри от 0 до 9, като всяка цифра може да бъде записана на произволно място. Каква е вероятността при първи опит да се открие паролата? 8 10 10! 10! 2! 2 = = V са всички възможни пароли (цифрите са 10) Решение: 8101210!PV== 147) * Какъв е броят на правите, които минават през 9 точки, 3 от които лежат на една права, а останалите 6 – никои 3 не лежат на една права? Решение: С прави минават през 6-те точки 6.3=18 прави минават през A, B, C и 6-те точки. Правата а минава през A, B и C са търсените прави. 2 15 6 = 3413.615=++⇒ 148) В партида от 100 учебника се оказало, че 4% са дефектни. 10 ученици са купили по 1 учебник от тази партида. Каква е вероятността никой от тях да не е дефектен? Решение: 4% от 100 = 4 учебника са дефектни ⇒96 уч. са недефектни; са всички възможни десeтки (10 учеб.); са всички възможни недефектни десeтки 10100С1096С10961010096!96!86!.10!100!86!.10!90!.10!CpC⇒===90!10!.86!100!=.87.88.89.90.91.92.93.94.95.96.90!86!.90!.91.92.93.94.95.96.97.98.99.100= 87.88.89.9087.8.89154860,6597.98.99.10097.98.1023765=== ≈ 23 149) Oт клас от 15 момчета и 10 момичета с профилиращ предмет математика се избират по случаен начин трима, които участват в математическо състезание. Каква е вероятността сред избраните да има поне 2 момичета? Решение: 15 момч. + 10 момич. = 25 ученика ⇒ 3 2300 25 С = начина да се избере тройка начина да се избере тройка от 3 момичета начина тройката да е от 1 момче и 2 момичета, като всяка двойка момичета се комбинира с 1 момче 310120С=21015.675С=4601592300675120=+=→p 150) В урна са поставени картончета с буквите на кирилицата (на всяко картонче е написана точно една буква от азбуката). Каква е вероятността на случайно избрано картонче да е написана гласна? Решение: 30 – всички бу