Постинг
18.06.2013 21:14 -
комбинаторика
Първо СОУ „Пенчо П. Славейков”, София
РЕШЕНИ ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКА ОТ КОМБИНАТОРИКА И ВЕРОЯТНОСТИ
Задачите са от учебници за 10 клас, „Тестове за подготовка на зрелостен изпит” – изд. „Анубис”, „Текстови задачи за държавни зрелостни изпити” – изд. „Булвест 2000”, ”Матура за отличен” – изд. „Просвета”, давани задачи на Зрелостен изпит – 2008 г.
Задачите са събрани и решени от Здравка Поплазарова
Компютърна обработка – ученици от 10б клас – Илия, Ина, Кристиян, Магдалена, Марина, Милослав, Моника, Недю, Никол, Теодора, Христо
с ръководител Мария Калоянова.
Редактори Здравка Поплазарова и Мария Калоянова
Декември 2008 година
София
o Пермутации !nPn=
o Вариации !(knnVnk=− )!
o Комбинации !()!!knnnCknkk⎛⎞⎜⎟⎝⎠==−
nP- Всички нареждания на n елемента в n- членни редици.
knV- Всички k-членни редици от n елемента, различаващи се една от друга по елементите или по реда, в който са взети.
knC- Всички k-елементни подмножества на множеството от n елемента, за които редът на елементите не е от значение.
Заб. Броят на комбинациите на k елемента от n-ти клас ()knCе равен на вариациите на k елемента от n–ти клас(, разделен на броя на повторенията на k елемента – пермутации . Под „повторения” се разбира ) knV!kPk=k-членни редици, съдържащи еднакви елементи, различаващи се по място.
!
!
( )! !
( )!! k
k
k n
n P k
n
C V n k n nn k k k
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
= − = =
−
o Вероятност /класическа/ БройблагоприятнисъбитияPБройнавсичкисъбития= [0;1]P→∈
Вероятността да се случи благоприятно събитие е броят на благоприятните възможности /събития/, разделен на броя на всички възможности /събития/.
Вероятността да се случи благоприятно събитие()P + вероятността да се случи неблагоприятно събитие()P е 1. 1PP→+=
2
1) ! Колко десетцифрени числа могат да се съставят,като всяка цифра се използва само веднъж?
Решение: Цифрите са 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 – 10 цифри. На първо място имаме избор от 10 цифри, на второ – от 9, на трето – от 8, ... на второ място – избор от девето цифри и на десето – от 1, т.е. 10! възможности. Ако на първо място сложим 0, тогава на второ имаме избор от 9 цифри, на трето – от 8, на четвърто – от 7, ..., на десето – от 1 цифра, т.е. 9! възможности.
Число не може да започва с 0 10! − 9! = 10.9! – 9! = (10–1).9! = 9.9! = 3265920 ⇒
Друг начин за разсъждаване: на първо място имаме избор от 9 цифри /без 0/, за второ място остава избор отново от 9 цифри / 0 се връща като възможен избор, но една от цифрите вече сме сложили на първо място и я отстраняваме, защото не бива да повтаряме, така остават 9 възможности/, на трето място – избор от 8 цифри, на четвърто – избор от 7, ..., на девето – от 2, на десето – от 1 ⇒ 9.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 9.9! = 3265920.
2) По колко различни начина могат 7 книги да бъдат подредени на една полица?
Решение: 7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5040
3) ! Колко прави минават през 8 точки, никои три от които не лежат на една права?
Решение: (Две точки определят една права и няма значение коя е първа и коя е втора, т.е. редът на елементите не е от значение.) 2828.72.1!.68.7!.6!2!.6!828====C
4) Колко равнини минават през 7 точки, никои три от които не лежат на една права и никои 4 не лежат в една равнина?
Решение: (Три точки, нележащи на 1 права определят една равнина.) 353.2.1!.47.6.5!.4!3!.4!737===C
5) ! Колко диагонала има правилен n-ъгълник?
Решение: Всички прави през две точки са: ⇒−=−−−=−=2)1(2.1)!.2()1()!2(!2)!2(!2nnnnnnnnCn
Изваждаме броя на страните ⇒23222)1(22nnnnnnnn−=−−=−− диагонала.
6) ! Колко фиша могат да се попълнят в играта „6 от 49” на Спортния тотализатор така, че във всеки да фиш да има точно три числа от 1 до 10?
Решение: Първите 3 числа измежду числата до 10 можем да изберем по начина. Като махнем числата от 1 до 10, до 49 остават 39 числа и измежду тях трябва да изберем другите 3 за фиша, а това межем да направим по начина. При всеки избор на първите 3 числа, можем по начина да изберем вторите, а за първите 3 имаме възможности. Следователно възможностите са 310C339C339C310C109668013.19.37.1203.239.38.37.3.210.9.83.2.1!.3639.38.37!.36.3.2.1!.710.9.8!.7!3!.36!39.!3!.7!10.339310=====CC
7) ! Конспект за матура има 20 въпроса и 25 задачи. Колко различни комбинации могат да се съставят, ако изпитен билет съдържа 2 билета и 3 задачи?
Решение: Възможните избори на 2 от 20 въпроса са , а възможните комбинации на 3 от 25 задачи са . Всеки избор на въпроси може да се съпостави с всеки избор на задачи. 220C325C23202520!25!18!.19.2022!.23.24.25...190.230043700018!.2!22!.3!18!.222!.1.2.3CC⇒====
8) В играта „Бридж” се раздават по 13 карти на играч измежду 52 карти. По колко различни начина един играч може да получи 13 карти?
3
Решение: Редът на елементите няма значение, тук – в какъв ред се раздават картите. Избираме 13 от 52 карти по начина. 1352C135252!39!40.41.42.43.44.45.46.47.48.49.50.51.5239!.13!39!1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13C⇒== =
41.42.43.4.45.46.47.48.49.5.5141.43.4.45.46.47.4.49.5.512.3.6.7.9.126.941.43.4.15.23.47.4.49.5.1738116060.49.20.1738116060.16666350135596003======
9) Колко петцифрени числа могат да се образуват от цифрите 0, 1, 2, 3, 4?
Решение: От 5 цифри → 1205.4.3.2.1!55===P числа.
Числата не могат да започват с 0 9624120!4!545=−=−=−⇒PP
10) ! По колко начина могат да бъдат разпределени в един ден 9 учебни предмета, ако в дневната програма се включват 5 различни учебни предмета?
30.56.9 15120
4!
4!.5.6.7.8.9
(9 5)!
5 9!
9 = = =
−
=
Решение: V, защото редът на предметите има значение.
11) Колко са четирицифрените числа, които съдържат цифрите 1, 2, 3 и 4 точно по един път?
1.2.3.4 24 4 P = = , !44=PРешение:
12) Колко са четирицифрените числа, в които се срещат само цифрите 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и никоя цифра не се повтаря?
Решение: Избираме 4 от 7 цифри и има значение коя на кое място е.
4
7
7! 3!.4.5.6.7 4.5.6.7 840
3! 3!
⇒V = = = =
13) Тото играчите попълват 6 от 49. Колко различни фиша могат да се попълнят?
13983816
15
44.45.46.47.49
43!.1.2.3.4.5.6
43!.44.45.46.47.48.49
43!.6!
6 49!
49 = = = = C Решение:
14) Колко е броят на четирицифрените числа, в които се срещат само цифрите 0, 1, 2, 3, 4, 5 и никоя от тях не се повтаря?
4 3
6 5
6! 5! 5!.6 5! 5!.(6 1) 1.2.3.4.5.5 300
2! 2! 2 2 2
− − /
− = − = = = =
/
VV Решение:
С ‘0’ не може да започва число, а броят на 0*** е . 35V
15) Колко прави линии могат да се построят през 8 точки, никои от три които не лежат на една права?
2
8
8! 6!.7.8 56 28
6!.2! 6!.2 2
= = = = C Решение:
16) ! По колко различни начина могат да се подредят 5 различни книги в една редица на библиотеката?
Решение: 5 книги, за всички има място 55!1.2.3.4.5120P→===
17) По колко различни начина могат да седнат 6 ученика на една пейка?
Решение: 6 P = 6!=1.2.3.4.5.6 = 720
18) ! По колко различни начина могат да се подредят 5 души в един кръг?
Решение: – един от тях може да застане където иска и според него другите ще се подреждат.
4 P = 4!=1.2.3.4 = 24
19) ! По колко различни начина могат да седнат на една пейка 5 ученика, ако двама от тях не искат да се разделят и трябва да са един до друг?
4
Решение: Двамата броим за един , но те могат да си разменят местата 4P→
4 →2.P = 2.4!= 2.1.2.3.4 = 48
20) Колко трицифрени числа могат да се съставят от цифрите 1, 3, 4, 6? 3
4
4! 1.2.3.4 24
(4 3)! 1!
= = =
−
V Решение:
21) Дадени са 7 различни по цвят ленти. Колко различни трицветни знамена могат да се ушият от тях?
3
7
7! 4!.5.6.7 5.6.7 210
(7 3)! 4!
= = = =
−
V Решение:
22) От една група от 15 спортиста трябва да се изберат 4 участника за щафета 800+400+200+100. По колко начина може да стане това?
Решение: Трябва да изберем 4-ма от 15, като има значение мястото – на кой по ред пост ще бяга спортистът, защото дистанциите са различни. 41015!11!.12.13.14.1512.13.14.1532760(154)!11!V⇒====−
23) Колко четирицифрени числа могат да се напишат с цифрите 2, 0, 5, 8, 9?
Решение: 5 цифри на 4 места 43545!4!1.2.3.4.51.2.3.41202496(54)!(43)!1!1!VV→−=−=−=−=−−
24) По колко различни начина могат да се изберат трима дежурни от група от 20 души?
3
20
20! 17!.18.19.20 18.19.20 1140
17!.3! 17!.1.2.3 6
= = = = C Решение:
25) Дадени са ‘n’ точки в равнината, като никои три от тях не лежат на една права. Намерете броя на правите, които се получават като се съединяват всеки две от точките.
2 ! ( 2)!.( 1) ( 1)
n ( 2)!.2! ( 2)!.1.2 2
n n n n n n
n n
− − −
= = =
− −
C Решение:
26) Шампионатът по футбол, в който участват 16 отбора, се провежда така че всеки отбор се среща два пъти с всеки друг отбор. Колко е броят на срещите, които се провеждат?
2
16
2. 2. 16! 14!.15.16 15.8 120
(16 2)!.2! 14!.2!
C = = = =
−
Решение: – комбинираме ги по 2 отбора по начина и всяка двойка играе по два мача. 216C
Или: , защото в двойките има значение домакин-гост. 216V
27) ! Събрание от 80 човека трябва да избере председател, секретар и трима членове на комисия. По колко начина може да стане това?
Решение: От 80 души избираме двама за председател и секретар – вариации, защото мястото има значение; от останалите 78 души избираме трима членове с комбинации, защото са равнопоставени и мястото няма значение. 23807880!78!78!.79.8075!.76.77.7876.77.78...79.80.79.80.76.77.1378!75!.3!78!75!.1.2.36VC===== 36984640.13 Същото се получава, ако първо изберем трима членове от 80 души, а после двама за председател и секретар от останалите 77 32807780!77!77!..77!.3!75!CV→==.78.79.8077!75!..1.2.3.76.7775!78.79.80.76.7713.79.80.76.7736984640.136===
Или – избираме двама за председател и секретар по начина /така мястото им няма значение/, но те могат да разпределят длъжностите си по 2 начина , тримата членове избираме от останалите 78 по начина, като при тях мястото няма значение. 2380782.CC280C2802.C⇒378C
5
Или 80.79.C – на първо място 80 възможни, на второ – 79, остават за избор на членовете. 378C378
28) По колко различни начина може да се образува разузнавателна група от трима офицери и седем войника, ако има всичко 10 офицера и 20 войника?
3 7
10 20
. 10! . 20! 7!.8.9.10 .13!.14.15.16.17.18.19.20 120.16.17.18.19.20
7!.3! 13!.7! 7!.1.2.3 13!.1.2.3.4.5.6.7 4.6
= = = =
Решение: CC 120.775209302400==
29) ! Тридесет души трябва да се разделят на три групи по 10 човека. По колко различни начина може да стане това?
Решение: Избираме първите 10 от 30 души по начина, редът няма значение. Остават 20 души и от тях избираме 10 по начина. Остават 10 души, които можем да изберем по само 1 начин (1030C1020C)10101C= Така получаваме на брой избора на 3 групи по 10, но при това ще има 10103020..CC 1
повторения на групите.
По условие групите нямат номера, следователно са равнопоставени, т.е. за тях редът няма значение. Броят на ПОВТОРЕНИЯТА на 3 елемента /в случая групи/ е и за да изключим тези повторения, трябва да разделим на 3P3P101010103020302033..11130!...3!20!CCCCPP⇒==20!..10!10!.10!= 10!=.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.....303!.10!.10!.1.2.3.4.5.6.7.8.9.1011.12.13.16==.17.18.19.20.21.22.23.25.26.27.28.29.301.2.3.1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.8.9.1011.12.13.17.19.21.22.23.5.26.27.299.8.911.13.17.19.21.1123.5.26.29969969.953810925166131890======
30) ! По колко различни начина може да се разпределят 12 различни предмета между три лица A, B, C, така че всяко от тях да получи по 4 предмета?
Решение: Избираме за А – 4 предмета от 12 по начина. Остават 8 предмета. Избираме за В – 4 предмета от 8 по начина. За С остават 4 предмета по 1 начин 412C48C()441C=. Хората са различни, затова редът на групите от 4 предмета има значение и няма да делим на повторенията.
4 4
12 8
. 12!
8!
⇒C C = . 8!
.4!
12
4!.4!
= .11.10.9.8.7.6.5. 4!
4!. 4.3. 2.4.3.2
=11.10.9.7.5 = 34650
31) ! По колко различни начина една колода от 36 карти може да се раздели на две половини, така че във всяка половина да има по две аса?
Решение: Като махнем асата, остават 32 карти, половината от тях е 16. Избираме 16 от 32 карти като мястото няма значение по начина. Две от четирите аса избираме по начина. . 1632C24C162324.CC⇒
32) ! Учениците от един клас изучават 9 различни предмета. По колко начина може да се състави учебна програма за един учебен ден от 5 различни учебни часа, в който да се изучават 5 различни учебни предмета, при условие, че история и география не може да се изучават в един ден.
Решение: Като махнем географията остават 8 предмета, от които да подредим 5 часа, а това става по начина. Това включва и всички подредби, в които няма нито история, нито география. 58V
Махаме географията. Ако имаме първи час история, останалите 4 часа можем да подредим по начина. Аналогично, ако история е втори, трети, четвърти или пети час. Така за избор на часа по история имаме 5 възможности, а за останалите четири часа – възможности да включим 47V475.V⇒ 4
7 V
6
история в програмата. 54878!7!3!.4.5.6.7.85.3!.4.5.6.755.4.5.6.7(85)120.7.13109203!3!3!VV+⇒+=+==+==
33) В турнир по хандбал участват 8 отбора. Ако има безспорен фаворит за златния медал, то по колко различни начина могат да се разпределят златния, сребърния и бронзовия медали в турнира?
Решение: Без фаворита остават 2 различни медала за разпределяне измежду 7 отбора.
2
7
7! 5!.6.7 6.7 42
(7 2)! 5!
⇒V = = = =
−
34) ! На рафт са подредени събрани съчинения в 30 тома. По колко начина могат да се подредят така, че трети и четвърти том да не стоят един до друг?
Решение: Всички подреждания на 30 тома са 30!. От тях трябва да извадим тези, в които двата тома са един до друг.
Ако броим двата тома за 1 обект, получаваме 29 обекта, които можем да подредим по 29! начина, но двата тома могат да си разменят местата. начина да подредим 30-те тома, като трети и четвърти са един до друг. 2.29!⇒
30!2.29!29!.302.29!29!(302)29!.28⇒−=−=−=
35) Пет момчета и три момичета трябва да се подредят в два реда за снимка, като момчетата са прави, а момичетата са седнали пред тях. По колко различни начина могат да се подредят?
Решение: Подреждането на момичетата()3P не зависи от подреждането на момчетата()5P. 53.5!.3!5.4.3.2.1.3.2.1720PP⇒===
36) Броят на различните начини, по които могат да се подредят в редица (за снимка) Иван и четиримата му приятели, така, че Иван да е винаги в средата е:
Решение: 1 2 И 3 4 44!4.3.2.124P→===
37) В олимпиадата по математика участват отбори от по трима души. Ако отборът се прави измежду шест ученици, какъв е броят на възможнните отбори?
3
6
6! 3!.4.5.6 4.5 20
3!.3! 3!.3.2.1
= = = = C Решение:
38) Колко вида знамена могат да се направят чрез различно подреждане на три ленти плат (бяла, зелена и червена) хоризонтално една под друга?
Решение: 3 6 3! 3.2.1 6
БЗЧ
БЧЗ
ЗБЧ
ВЪЗМОЖНОСТИ P
ЗЧБ
ЧЗБ
ЧБЗ
⎞⎟⎟⎟
→ = = = ⎟⎟⎟⎟⎟⎠
39) В една зала за танци има n момчета и n момичета. По колко начина те могат да образуват танцови двойки?
Решение: Всяко момиче може да бъде поканено от всяко момче, нека момичетата не сменят местата си⇒броят на двойките е равен на броя на подрежданията в множеството на момчетата, т.е. !nPn=
Или: първото момче има избор от n момичета, второто – от (n – 1) момичета, ... n-тото момче има избор от 1 момиче, а това са n! възможности.
40) Колко двуцифрени числа могат да се напишат с цифрите 1, 2, 3, и 4 без повтаряне на цифрите?
7
Решение: ( ) 12
2.1
4.3.2.1
4 2 !
4!
14 24 34 43
13 23 32 42
12 21 31 41
2
4 = =
−
⇒ =
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
V
41) ! Телефонен номер се състои от 5 различни цифри. Колко са възможностите за останалите три цифри, ако номерът започва с 25?
Решение: Всичките цифри са 10 0, 1, →2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Изоставям 2 и 5 остават 8 цифрис тези 8 цифри ще имаме вариации от 3⇒⇒-ти клас (за останалите 3 цифри) 3366.7.8!58.7.6!.5)!38(!838===−=V
42) Колко трицифрени числа могат да се съставят с цифрите 3, 0, 4 и 7, така че да не се повтаря никоя от тях?
Решение: Vброят на всички възможни вариации, броят на вариациите на числата, започващи с 0
3 −
4 −23V32434!3!4!3!4.3.2.13.2.124618(43)!(32)!VV⇒−=−=−=−=−=−−
43) Да се намери броят на диагоналите в изпъкнал 12-ъгълник?
Решение: През 2 точки минава само една права ()662!.1012.11!.10!2!.212!12212==−=⇒C
В тези 66 прави са включени и правите,минаващи през два съседни върха (т.е.страните)⇒да извадим броя на страните диагонала. 541266=−⇒
44) ! В партида от 18 детайла 4 са нестандартни. По колко начина могат да се вземат случайно 5 детайла, от които 2 са нестандартни?
Решение: 18 детайла = 4 нестандартни +14 стандартни 2 −
4 C начина да се вземат от 4 нестанд. 2 нестанд.
Броят на взетите детайли е 5 = 2 нестанд. + 3 стандартни
⇒ за всеки от (начина за вземане на нестанд.) съответстват (начина за вземане на стандартни) 24C314C218414.26.61.2.3!.1114.13.12!.11.1.2!.21.2.3.4!3)!.314(!14.!2)!.24(!431424===−−=⇒CC
45) В партида има 5 изделия за 1-во качество и 10 изделия от 2-ро качество. По колко начина могат случайно да се вземат 3 изделия, така че:
(а) трите да са от 1-во качество;
(б) трите да са от 2-ро качество;
(в) двете да са от 1-во к-во, а едното от 2-ро;
(г) двете да са от 2-ро, а едното от 1-во.
(а) 10!3.25.4!.3!3!.2!535===C
(б) 1201.2.3!.710.9.8!.7!3!.7!10310===C
(в) 10010.101!.910!.9.1.2!.35.4!.3!1!.9!10.!2!.3!511025====CC
(г) 22545.52!.810.9!.8.!45!.4!2!.8!10.!1!.4!521015====CC
46) В един клас има 15 момчета и 20 момичета. Намерете по колко различни начина може да се състави представителна група от 2 момчета и 3 момичета. 8
Решение: ()()23152015!20!13!.14.1517!.18.19.20...105.1140119700152!.2!203!.3!13!.217!.3.2.1CC===−−
=
47) По колко различни начина могат да бъдат назначени 2 чистачки и 3 машинописки, ако кандидатите за чистачки са 9, а за машинописки −14.
2 3
9 14
. 9! . 14! 7!.8.9 .11!.12.13.14 36.364 13104
7!.2! 11!.3! 7!.2 11!.3.2.1
= = = = CC Решение:
48) ! Колко прави могат да се прекарат:
а) през 8 точки, никои 3 от които не лежат на една права;
б) през 10 точки, 3 от които лежат на една права.
Решение: а) 282!.68.7!.6!2!.6!828===C; б) От правите през 10 точки трябва да извадим трите прави, минаващи през 3 точки и вместо тях да прибавим 1 права – на която лежат трите точки:2221031010!8!.9.10131224528!.2!8!.2CCC−+=−+=−=−=−=43.
49) В колко точки се пресичат 6 прави, които лежат в една равнина, но не минават през една и съща точка и никои 2 от тях не са успоредни?
2
6
6! 4!.5.6 15
4!.2! 4!.2!
= = =
Решение: C
50) ! През колко точки, никои три от които не лежат на една права, могат да се прекарат: а) 28 прави; б) 55 прави.
Решение: а) 2(1)(2)!!2828(2)!2!nnnnnCn−−=→=→−(2)!n−28.2= 2128115560702nnnnn→=±−−=→=→=−< Отг. 8 точки. ⇒
б) ()()221(1)(2)!55555511002!2!2!2nnnnnCn n
n n
− −
= → = → = → − − =
− −
12100 .121112неерешn→−⇒=→−
130) По колко различни начина може да се състави учебна програма за един 6-часов учебен ден от седмицата за 6 различни учебни предмета?
Решение: 6! 6.5.4.3.2 720 6 P = = =
131) В кутия има 3 бели, 2 червени, 5 сини и 8 зелени топки. По случаен начин е извадена една от тях. Каква е вероятността тя да не е червена или зелена?
Решение: 3 бели + 2 червени + 5 сини + 8 зелени = 18 топки са всичките;
2 червени + 8 зелени = 10 топки искаме да се падне една от останалите 8 ⇒94188==⇒p
132) ! Броят на различните номера на мобилни телефони от вида 08882***** , които завършват на едноцифрено просто число е ...
Решение: 08882 ****7
08882 ****5
08882 ****3
08882 ****2
Цифрите **** могат да се повтарят.
441010=→=VnVkkn за едно просто са всичките мобилни номера n10.4⇒
133) ! 20% от топките в спортен магазин са червени, 60% от червените топки са футболни, а 50% от топките, които не са червени, не са футболни. Каква е вероятността при случаен избор от всички футболни топки клиентът да попадне на червена?
Решение: x – всички топки; 20% от x = xx5110020= са червени 80% от xxx5410080== не са чевени 60% от xxx25351.1006051== червени футболни 50% от xxx5254.2154== не са футболни останалите 50% от →x54 са нечервени футболни
→x52 - нечервени футболни 332525313225525313xxчервенифутболниpфутболниxxx===+
=
134) Каква е вероятността случайно избрана карта от колода от 52 карти да е купа или каро?
Решение: 52 : 4 = 13 карти от боя, купа + каро → 26 карти → 215226==p
135) В равнината са дадени 18 точки, никои три от които не лежат на една права. Колко на брой са триъгълниците с върхове тези точки?
3
18
18! 15!.16.17.18 816
15!3! 15!.3.2
= = =
Решение: C
136) Буквите на Морзовата азбука се записват като последователност от точки и тирета. Какъв е броят на различните букви, които могат да се запишат с 5 символа?
Решение: Да се напишем всички възможности:
21
– – – – –
– – – – · – – – · – – – · – – – · – – – · – – – –
– – – ·· – – · · – · – – · – – ·· – – – – · – · – · – · – · – · – – · – – – · – · – – · · · – – –
– – ··· · · · – – · · – – · – · · – · · – – · · ·· – · – · – · – · – · – ·· – – · · – · – · · –
– · · · · · – · · · · · – · · · · · – · · · · · –
· · · · ·
1 буква
5 букви
10 букви
10 букви
5 букви
1 буква
1+5+10+10+5+1 = 32 букви
137) Каква е вероятността да се сбъдне събитието: ‘Сборът от точките при хвърляне на два правилни зара да е 4’?
Решение:
6.6 = 36 са всичките възможности. Благоприятните случаи: 1 + 3 = 4, 2 + 2 = 4, 3 + 1 = 4
⇒ 3 случая, в които сумата е 4 313612p⇒==
138) По колко начина може да се разпределят 6 различни предмета между 3 лица , така че всеки да получи 2 предмета?
Решение: C . 2 90
4
2
6 C =
139) В една кутия има 10 нови и 5 стари топки за тенис. По случаен начин са извадени 2 топки. Да се намери на колко е равна вероятността едната от тях да е нова, а другата – стара?
Решение: 10 +5 =15 топки общо 2
15 C =105 начина да се извадят 2 топки от 15 10 . 5 = 50 начина да се извади 1 стара и 1 нова топка 501010521p→==
140) Колко са различните 5 – буквени ‘думи’ с различни букви, които могат да се образуват от буквите в думата ‘ТАКСИ’?
Решение: 5! 5.4.3.2 120 5 P = = =
141) Кодът на куфар се състои от четири различни нечетни цифри. Най-големият брой опити, които трябва да се направят, за да се открие кодът на този куфар е ...
Решение: 1 , 3, 5, 7, 9 – 5-те нечетни цифри 5! 5.4.3.2. 120
1!
4 5!
5 V = = = = опита
142) В един клас има 14 момичета и 12 момчета. Избират се 5 ученика да участват във викторина. Каква е вероятността в групата да има 3 момчета и 2 момичета?
Решение: 14 + 12 = 26 ученика, начина да се изберат 5 от 26 ученика начина да се изберат 3 от 14 момчета 52665780C=
3
14 C = 26.14
22
21266C= начина да се изберат 2 от 12 момичета 231214526.66.26.144265780115CCpC===
143) Броят на трицифрените числа с различни цифри, записани с цифрите 1, 3, 5, 7 и 9 е:
60
2
5.4.3.2
2!
3 5!
5 = = V Решение:
144) ! В училищен футболен турнир са проведени 30 срещи, като всеки 2 отбора се срещат 2 пъти. Колко отбора участват в турнира?
30 30 0
( 2)!
30 ( 2)!( 1)
( 2)!
2 30 ! = → 2 − − =
−
− −
= →
−
= → n n
n
n n n
n
n
n V Решение: 12611152nnn→=±=→=− Отг. 6 отбора са участвали в 30 мача 60=→>nn
145) Да се реши уравнението: 5122104nnnnVPVP++−−=, n – естествено число.
Решение: 0
!
!( 1)( 2)
4( 4)!( 1)!
0 ( 1)!( 3)!
!
( 2)!
( 1 2)!
4.( 1)!
( 1 5)!
( 1)!
n
n n n
n n
n n
n
n
n
n
n
n
+ +
−
− −
+ −
= →
+
−
− −
−
+ −
+
0)2)(1(4)3)(1(0)2)(1()!4()!1(4)3()!4)(1()!1(=++−−+→=++−−−−−+−nnnnnnnnnnnnnn()())(1)342011010 ..nnnnnnнр+−−+=⎡⎤⎣⎦+=→=−< )221,223480788798102nnnnnnnnn
0 −−−=→−−=→=±=→=→=−< Отг. n = 8
146) Осемцифрова компютърна парола е съставена с помощта на различни цифри от 0 до 9, като всяка цифра може да бъде записана на произволно място. Каква е вероятността при първи опит да се открие паролата?
8
10
10! 10!
2! 2
= = V са всички възможни пароли (цифрите са 10) Решение: 8101210!PV==
147) * Какъв е броят на правите, които минават през 9 точки, 3 от които лежат на една права, а останалите 6 – никои 3 не лежат на една права?
Решение: С прави минават през 6-те точки 6.3=18 прави минават през A, B, C и 6-те точки. Правата а минава през A, B и C са търсените прави. 2 15
6 =
3413.615=++⇒
148) В партида от 100 учебника се оказало, че 4% са дефектни. 10 ученици са купили по 1 учебник от тази партида. Каква е вероятността никой от тях да не е дефектен?
Решение: 4% от 100 = 4 учебника са дефектни ⇒96 уч. са недефектни; са всички възможни десeтки (10 учеб.); са всички възможни недефектни десeтки 10100С1096С10961010096!96!86!.10!100!86!.10!90!.10!CpC⇒===90!10!.86!100!=.87.88.89.90.91.92.93.94.95.96.90!86!.90!.91.92.93.94.95.96.97.98.99.100= 87.88.89.9087.8.89154860,6597.98.99.10097.98.1023765=== ≈
23
149) Oт клас от 15 момчета и 10 момичета с профилиращ предмет математика се избират по случаен начин трима, които участват в математическо състезание. Каква е вероятността сред избраните да има поне 2 момичета?
Решение: 15 момч. + 10 момич. = 25 ученика ⇒ 3 2300
25 С = начина да се избере тройка начина да се избере тройка от 3 момичета начина тройката да е от 1 момче и 2 момичета, като всяка двойка момичета се комбинира с 1 момче 310120С=21015.675С=4601592300675120=+=→p
150) В урна са поставени картончета с буквите на кирилицата (на всяко картонче е написана точно една буква от азбуката). Каква е вероятността на случайно избрано картонче да е написана гласна?
Решение: 30 – всички бу
Османската държава и българите
Заловени руски документи разкриват 10-дн...
ОЧАКВАЙТЕ: КАКВО И КЪДЕ ОБЯДВАХМЕ ЕДН...
Заловени руски документи разкриват 10-дн...
ОЧАКВАЙТЕ: КАКВО И КЪДЕ ОБЯДВАХМЕ ЕДН...
Няма коментари
Вашето мнение
За да оставите коментар, моля влезте с вашето потребителско име и парола.
Търсене
Блогрол